PUC, Física 4, P2 2018.1, 1
Em algum momento no futuro da Terra…
Descobre-se que um asteroide, a 120 milhões de quilômetros de distância, tem sua trajetória em rota de colisão com a Terra. A velocidade do asteroide é não-relativística e para todos os efeitos práticos pode ser desprezada. A agência espacial americana manda, em t =0, uma nave não tripulada em direção ao asteroide, com velocidade (medida na Terra). Considere o sistema de referência da nave () tendo e (origem de posição e tempo coincidentes para a Terra e a nave), sendo a direção definida entre a Terra e o asteroide.
No mesmo momento em que a nave é lançada, a agência espacial brasileira manda um míssil em direção ao asteroide. O míssil explode no asteroide 8min20s após o lançamento, de acordo a relógios na Terra.
(b) Qual é a velocidade do míssil, medida pela nave? Em que instante de tempo, de acordo ao computador de bordo da nave, o míssil explode no asteroide?
Passo 1
Sabemos que nesse caso teremos que usar o conceito de velocidade relativística, sabemos que para velocidade relativística a fórmula é dada pela transformação de Lorentz
E sabemos que
Passo 2
Agora que já sabemos qual é a fórmula e qual os devidos referenciais, basta determinarmos os seus devidos valores para podermos substituir.
Sabemos que a velocidade da nave é dada por
Sabemos também que
O único problema é determinar a velocidade do míssil com relação a Terra.
No enunciado é dito que ao mesmo tempo que a nave foi lançada, também foi lançado o míssil, e que após um certo tempo, o míssil atingiu o asteroide, ou seja, o míssil percorreu toda a distância entre a Terra e o asteroide, e já sabemos quanto vale essa distância, ela é da no enunciado
Como o míssil levou exatamente 8 minutos e 20 segundos, convertendo as unidades teremos que o tempo total foi de
Logo ficou fácil determinar a velocidade do míssil com relação a Terra
Agora que já temos todos os valores, basta que substituamos na nossa fórmula principal. Dessa forma teremos que
Substituindo
Logo a velocidade do míssil medido pela nave, foi de exatamente
Passo 3
Agora temos a segunda parte da questão, em que o nosso objetivo é determinar qual foi o tempo medido pela nave até que o míssil colidisse com o asteroide. Sabemos que se queremos o tempo medido pela nave, precisamos de alguma fórmula que use o tempo no referencial da nave, ou seja, S’. Sabemos que existe a transformação de Lorentz para tempo, que relaciona exatamente o tempo medido pela nave para o míssil com o tempo medido pela Terra para o míssil, e sabemos que a fórmula é dada por
sabemos que o tempo que passou foi de
Sabemos que a velocidade da nave é dada por
E sabemos que a distância medida entre a Terra e o cometa é dada por
Assim teremos que
Temos que
Assim teremos que
O fator de Lorentz é dado por
Substituindo teremos que
Assim teremos que
Resposta
O instante de tempo em que o míssil atinge o asteroide medido pela nave foi de 371 segundos