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Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Transformações de Lorentz e Doppler Relativístico

Um referencial inercial S ' move-se com vetor velocidade v → = c / 2 i ^ em relação ao referencial inercial S .

Sabemos que um projétil viaja numa trajetória retilínea no plano x ' y ' fazendo um ângulo θ ' = π / 6 com o eixo x ' e que a componente x ' do seu vetor velocidade é um quarto da velocidade da luz no vácuo.

  1. Quais as componentes do vetor velocidade no referencial S ?
  2. Qual é o ângulo θ dessa trajetória em relação ao eixo x ?
  3. Qual seria esse ângulo θ no referencial S se no lugar do projétil tivermos um fóton?

Passo 1

Letra (a): Quais as componentes do vetor velocidade no referencial S ?

As transformadas de Lorentz para as velocidades, do referencial S ' para o referencial S são dadas por:

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

v y = v y ' γ ( 1 + u   v x ' / c 2 )

Passo 2

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Onde:

v x ' = c / 4 ;

u = c / 2 ;

Logo:

v x = c 4 + c 2 1 + c 2 c 4 c 2

v x = 3 c / 4 1 + 1 / 8 = 3 c / 4 9 / 8 = 3 c 4 8 9

v x = 2 c 3

Passo 3

Antes de calcular v y , vamos calcular v y ' . O problema diz que a velocidade do projétil no referencial S ' faz um ângulo θ ' = π / 6 . Logo:

tan ⁡ θ ' = v y ' v x ' → v y ' = v x ' tan ⁡ θ '

v y ' = c 4 3 3 = c 3 12  

Passo 4

v y = v y ' γ ( 1 + u   v x ' / c 2 )

Vamos calcular o valor de γ separado para não nos enrolarmos.

γ = 1 1 - u 2 / c 2

Onde u = c / 2 .

γ = 1 1 - 1 / 4 = 1 3 / 4 = 2 3 3

Passo 5

v y = v y ' γ ( 1 + u   v x ' / c 2 )

Onde:

v y ' = c 3 / 12 ;

γ = 2 3 / 3 ;

u = c / 2 ;

v x ' = c / 4 ;

Logo:

v y = c 3 12 2 3 3 1 + c 2 c 4 c 2 = c 3 12 2 3 3   1 + 1 8 = c 3 12 2 3 3   9 8 = c 3 12 3 3 4

v y = c 3 12   4 3 3

v y = c 9

Passo 6

Letra (b): Qual é o ângulo θ dessa trajetória em relação ao eixo x ?

tan ⁡ θ = v y v x

Onde:

v x = 2 c / 3 ;

v y = c / 9 ;

Logo:

tan ⁡ θ = c / 9 2 c / 3 = c 9 3 2 c = 1 6

θ = 9,46 °

Passo 7

Letra (c): Qual seria esse ângulo θ no referencial S se no lugar do projétil tivermos um fóton?

O fóton sempre se move com velocidade c. A velocidade no referencial S ' é dada por:

v x ' 2 + v y ' 2 = c 2

As componentes da velocidade nesse referencial são:

v x ' = c cos ⁡ π 6 = 3 c 2

v y ' = c sen ⁡ π 6 = c 2

Passo 8

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Onde:

v x ' = 3 c / 2 ;

u = c / 2 ;

Logo:

v x = 3 c 2 + c 2 1 + c 2 3 c 2   c 2

v x = c 2   3 + 1 1 + 3 4 = c 2   3 + 1 1 4 ( 4 + 3 )

v x = 2 c   3 + 1 4 + 3

Passo 9

v y = v y ' γ ( 1 + u   v x ' / c 2 )

Onde:

v y ' = c / 2 ;

γ = 2 3 / 3 ;

u = c / 2 ;

v x ' = 3 c / 2 ;

Logo:

v y = c 2 2 3 3 1 + c 2 3 c 2   c 2 = c 2 2 3 3 1 + 3 4 = c 2 2 3 12   4 + 3 = c 2   12 2 3   4 + 3  

v y = c 3 4 + 3

Passo 10

Agora chegamos no DESPACITO!!

tan ⁡ θ = v y v x

tan ⁡ θ = c 3 4 + 3 2 c   3 + 1 4 + 3 = c 3 4 + 3   4 + 3 2 c   3 + 1

tan ⁡ θ = 3 2 3 + 1

Usando a calculadora:

θ = 17,58 °

Resposta

Letra (a):

v x = 2 c 3

v y = c 9

Letra (b):

θ = 9,46 °

Letra (c):

θ = 17,58 °

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