PUC, Física 4, P2 2016.2, 4
Uma esquadrilha de espaçonaves com 1,00 anos-luz de comprimento (no seu referencial de repouso) está se movendo com velocidade 0,80c em relação a uma base espacial. Uma nave mensageira viaja da retaguarda da esquadrilha com velocidade 0,95c em relação à base espacial.
(a ) Calcule quanto tempo leva a viagem da nave mensageira em seu próprio referencial.
(b ) Obtenha o intervalo de tempo gasto pela nave mensageira no referencial da esquadrilha.
(c ) Determine quanto tempo leva a viagem da nave mensageira em relação à base espacial.
Passo 1
No primeiro item desejamos determinar o tempo decorrido para a nave mensageira, para isso devemos lembrar do seguinte, o tempo para nave mensageira pode ser determinada da seguinte forma.
Em que cada termo significa
Mas aqui temos que tomar o seguinte cuidado, tanto a velocidade da nave quanto a velocidade da esquadrilha estão relacionadas a base, mas aqui queremos saber a velocidade RELATIVA entre a nave mensageira e a esquadrilha medida no referencial da nave mensageira, e é esse valor que usaremos na nossa fórmula, de forma simples, imagine que temos dois carros indo na mesma direção, uma a 100km/h e outro a 80km/h, sabemos que nesse caso a velocidade relativa entre eles é de 20km/h, como aqui estamos tratando de velocidades muito grandes precisamos de outra relação, ou seja, devemos usar a transformação de Lorentz para determinar a velocidade relativa delas, para isso, usaremos a fórmula
Passo 2
Substituindo teremos que
Em que
Sabemos que cada um desses valores vale
Substituindo teremos
Definimos assim o valor da velocidade relativa entre a nave e a esquadrilha no referencial da nave mensageira, vamos agora determinar a distancia percorrida pela nave mensageira.
Agora que temos a velocidade relativa entre os referenciais, sabemos que, as distâncias medidas em relatividade sofrem o que chamamos de contração do espaço, certo? Então vamos olhar para a fórmula da contração do espaço que é dada por
Lembrando que é comprimento próprio, ou seja, o maior comprimento medido, e este é medido pela pessoa que está em repouso em relação a medida, por exemplo, se eu tenho um vagão em movimento e fizer a medida dentro do vagão, a medida está em repouso em relação a pessoa que está dentro do vagão, logo esse é o comprimento próprio, porém para quem está fora do vagão essa medida está em movimento, logo, para ela, a medida sofrerá uma contração.
Nesse caso a medida que nos é dada foi feito no referencial de repouso da esquadrilha, ou seja, a esquadrilha é a pessoa dentro do vagão, então a medida feita por ela é a maior possível, o que significa que no referencial da nave mensageira, essa medida será menor. Se no nosso exemplo a esquadrilha está dentro do vagão, então qual é a velocidade do vagão?
É exatamente a velocidade relativa entre a nave mensageira e esquadrilha, oque calculamos exatamente no item anterior.
Então teremos o seguinte.
Em que
Substituindo teremos
Já com todos os valores em mãos precisamos apenas substituir na nossa primeira fórmula
Passo 3
Nesse item (b) devemos tomar o seguinte cuidado, agora queremos determinar o tempo decorrido para nave mensageira, porém visto do referencial da esquadrilha, escrevendo a nossa fórmula teremos o seguinte.
Mas preste atenção, sabemos pelo enunciado que , que é exatamente o comprimento próprio, que como vimos é o maior comprimento medido. Mas oque significa o ?
É exatamente a velocidade relativa entre o referencial da esquadrilha e da nave mensageira, porém nesse caso, sendo vista pelo referencial da esquadrilha, se você prestar bem atenção já calculamos esse valor, que é dado por
Esse é o valor da velocidade relativa entre os referenciais analisado pelo referencial da nave mensageira, para a esquadrilha a velocidade relativa será a mesma, além do mais, no nosso exemplo do carro dito anteriormente, a velocidade relativa de 20km/h vale para ambos os carros, a única diferença é que um carro verá essa velocidade relativa positiva, e o outro verá ela negativa, ou seja, se para a nave mensageira a velocidade deu negativa, para a esquadrilha ela será
Substituindo na nossa equação teremos,
Passo 4
Por fim, nesse terceiro item nos é pedido para medir o tempo que passou para a nave mensageira na perspectiva na base espacial.
Ou seja, sabemos que podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira
Em que
Temos quase todos os valores, mas tome o seguinte cuidado, lembra que o tamanho de 1ano luz foi medido no referencial da ESQUADRILHA? Ou seja, a esquadrilha já mediu o valor do comprimento próprio, ou seja, a esquadrilha é a única que possui o maior tamanho medido, todos os outros referenciais verão tamanhos menores, e se o tamanho é menor, significa que ocorreu contração do espaço, vamos então analisar a fórmula de contração do espaço, que é
Substituindo pelos nosso valores teremos
Em que
Substituindo os nosso valores teremos
Passo 5
Olhando novamente a nossa fórmula
Sabemos que
Substituindo