Física 4 – UFRJ – 2019.1 – P2 – Questão 1
Em uma corrida intergaláctica, o foguete A é colocado na posição e o fogute B em para um dado referencial . O objetivo da corrida é chegar na posição primeiro. A largada é dada no instante para o referencial inercial e os foguetes saem nesse instante com velocidades e , respectivamente.
Em função dos dados do enunciado, calcule o que se pede.
a) Determine os instantes de tempo para os quais os foguetes A e B cruzam a linha de chegada para o referencial ;
b) Determine a velocidade do foguete A em relação a uma referencial inercial ligado ao foguete B.
c) Determine os instantes de largada e chegada de cada foguete em relação a um referencial inercial ligado ao foguete B.
Passo 1
Fala pessoal, prontos para resolver a questão da corrida intergaláctica? Esse é um probleminha bem típico de relatividade restrita! Bora resolver!
No item (a) vamos olhar tudo como se estivéssemos no referencial . Isso significa que não vamos precisar converter nada para algum outro referencial, o que vai deixar esse item bem simples!
É fácil perceber que cada um dos foguetes deve percorrer uma distância , já que o foguete A sai de e quer chegar em , e o foguete B sai de e quer chegar na mesma posição que A.
Como as distâncias e velocidades dadas são todas no referencial , basta usar que
Para o foguete A:
Já para o foguete B:
É fácil perceber que , de modo que no referencial o foguete B ganha a corrida!
Passo 2
No item (b) queremos saber a velocidade do foguete A no referencial do foguete B! No referencial , temos que
Para achar a velocidade do foguete A em outro referencial, usamos a relação de composição de velocidades da relatividade especial:
Nessa equação, é a velocidade do foguete A no referencial , é a velocidade do foguete A no referencial e é a velocidade do referencial com relação ao referencial . Nesse problema, o referencial é o referencial ligado ao foguete B, de modo que sua velocidade com relação ao referencial é
Aí é só substituir na expressão:
Logo,
Portanto, a velocidade do foguete A para um observador dentro do foguete B é
Passo 3
Para terminar, vamos para o item (c)! Queremos achar os instantes de largada e chegada de cada foguete para um observador no foguete B (referencial ). Para isso, vamos usar a transformação de Lorentz:
Os instantes de tempo no referencial (referencial do foguete B) depende dos instantes de tempo e da posição no referencial ! Vale lembrar que
Nesse caso, que é a velocidade do referencial (foguete B) com relação ao referencial . Logo,
Portanto,
Essa é a relação que vamos usar para resolver o problema!
Passo 4
Vamos olhar primeiro para a largada!
O foguete A parte da posição com , de modo que
Para o foguete B, temos que e . Logo,
Observe que para o referencial , o foguete A partiu primeiro! Eu sei que isso parece bem bizarro, mas é relatividade né...
Para a chegada, temos que para os dois foguetes (isso no referencial ). Para o foguete A, achamos no item (a) que , de modo que
Para o foguete B, achamos no item (a) que . Logo,
Podemos verificar que , o que significa que nesse referencial, apesar de sair depois, o foguete B chega primeira na linha de chegada! Isso mostra que nossas contas foram consistentes, pois se tem uma coisa que a relatividade restrita não pode brincar é a causalidade: se em um referencial inercial o foguete B venceu, ele tem que vencer em todos os referenciais inerciais!