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Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

UFRJ, Física 4, P2 2017.1, 1

Dois foguetes disputam a final de um torneio intergaláctico de velocidade. Para o referencial inercial S, o cronômetro é zerado no momento da largada, o foguete A parte da posição x a   =   0 e y a   =   0 , com velocidade constante de 3 c 5 i ^ , o foguete B parte da posição x b   =   0 e y b   =   y , com velocidade constante de 4 c 5 i e o foguete ganhador e aquele que primeiro passar pela linha de chegada, posicionada em x   =   L . Despreze os tamanhos dos foguetes. Essa mesma corrida pode ser vista de um referencial inercial preso ao foguete A, denominado S a , ou de um referencial inercial preso ao foguete B, denominado S b , os quais dividem a origem de seus eixos coordenados com o referencial S no instante da largada.

Em função dos dados do enunciado e de constantes fundamentais dadas no formulário (folha de capa), calcule e responda o que se pede.

(B) Do ponto de vista do referencial inercial S a , determine.

i) As velocidades dos foguetes A e B.

ii) O intervalo de tempo entre a largada e o momento em que o foguete A cruza a linha de chegada.

iii) O intervalo de tempo entre a largada e o momento em que o foguete B cruza a linha de chegada.

iv) Qual foguete é campeão do torneio de arrancada intergaláctica?

Passo 1

Vamos resolver essa questão por partes, no primeiro item nos é pedido a velocidade dos foguetes A e B no referencial S a que é o referencial preso ao foguete A, para isso sabemos que a fórmula que nos dá essa resposta é a fórmula de transformação de velocidade de Lorentz que é dada por,

U ' = U - v 1 - v . U c 2

Que em termos do nosso problema pode ser escrita como

v A S A = v A - v 1 - v . v A c 2

Em que

v A S A = v e l o c i d a d e   d o   f o g u e t e   A   n o   r e f e r e n c i a l   S a  

v a = v e l o c i d a d e   d o   f o g u e t e   A   n o   r e f e r e n c i a l   S

v = v e l o c i d a d e   d o   r e f e r e n c i a l   S a  

Vale ressaltar aqui que a velocidade do referencial S a é igual a velocidade do próprio foguete A já que ambos se encontram juntos.

Outra coisa muito importante a ser ressaltada é que v A S A se trata de uma velocidade relativa entre o referencial S a e o foguete A, mas pense comigo, se eles dois estão juntos, qual a velocidade relativa entre eles?

É zero, beleza? Então na prova, toma muito cuidado com isso, se temos um termo que se trata de uma velocidade relativa entre objetos, e esses objetos estão juntos, o termo que depende da velocidade relativa só pode ser nulo.

Com isso temos que

v A S A = 0

Que é exatamente um dos objetivos que tínhamos para esse item, mas ainda não acabou, vamos determinar agora a velocidade do foguete B no referencial S a , e preste atenção porque agora não teremos a velocidade relativa igual a zero, exatamente porque o referencial S a está preso ao foguete A e não ao B.

Reescrevendo a nossa fórmula teremos.

v B S A = v B - v 1 - v . v B c 2

Em que

v B S A = v e l o c i d a d e   d o   f o g u e t e   B   n o   r e f e r e n c i a l   S a  

v B = v e l o c i d a d e   d o   f o g u e t e   B   n o   r e f e r e n c i a l   S

v = v e l o c i d a d e   d o   r e f e r e n c i a l   S a = v a  

Sabemos que os nossos termos valem

v A = v = 3 c 5 i ^

v B = 4 c 5 i ^

Substituindo na nossa fórmula teremos

v B S A = 4 c 5 - 3 c 5 1 - 3 c 5 . 4 c 5 c 2

v B S A = c 5 1 - 12 25

v B S A = 5 c 13

Passo 2

Indo para o item 2 sabemos que o referencial de Repouso nesse caso é o referencial S, ou seja, o tempo medido nele pode ser dado por

∆ t A S

∆ t B S

E no referencial em movimento sabemos que o tempo pode ser dado como

∆ t A S a

∆ t B S b

Que são os nosso objetivos do cálculo.

Porém sabemos que para calcularmos a tempo decorrido entre referenciais podemos usar a fórmula.

∆ t = ∆ t 0 1 - u c 2

Que em termos do nosso problema ficaria

Para o foguete A

∆ t A S = ∆ t A S a 1 - v A S c 2

Para o foguete B precisamos tomar alguns cuidados, pois perceba que

∆ t B S = ∆ t B S b 1 - v B S c 2

Não possui relação com o referencial S a , por isso teremos que novamente fazer a transformação, tal que tenhamos

∆ t B S a = ∆ t B S b 1 - v B S a c 2

Sabemos pelo item (a) dessa questão que

∆ t A S = 5 L 3 c

∆ t B S = 5 L 4 c

Sabemos pelo enunciado que

v A S = 3 c 5 i ^

v B S = 4 c 5 i ^

E pelo primeiro item dessa questão

v B S A = 5 c 13

Substituindo teremos que

Para o foguete A

∆ t A S = ∆ t A S a 1 - v A S c 2

5 L 3 c = ∆ t A S a 1 - 3 c 5 c 2

5 L 3 c = ∆ t A S a 16 25

∆ t A S a = 4 L 3 c

Para o foguete B, primeiro faremos a primeira dilatação temporal que é dada por

5 L 4 c = ∆ t B S b 1 - 4 c 5 c 2

5 L 4 c = ∆ t B S b 9 25

∆ t B S b = 15 L 20 c

Substituindo na segunda fórmula teremos que

∆ t B S a = 15 L 20 c 1 - 5 c 13 c 2

∆ t B S a = 15 L 20 c 144 169

∆ t B S a = 15 L 20 c . 13 12 = 13 L 16 c

Dessa forma vemos que a relação entre os tempos de cada nave é dada por

∆ t B S a < ∆ t A S a

Ou seja, novamente concluímos que o foguete B é campeão, mas nesse caso para o referencial S a .

Resposta

i) v A S A = 0

v B S A = 5 c 13 .

ii) ∆ t A S a = 4 L 3 c

iii) ∆ t B S a = 13 L 16 c

iv) ∆ t B S a < ∆ t A S a foguete B é campeão para o referencial S a .

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