Passo 1
Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.
Derivando
Então, o wronskiano será:
Passo 2
Podemos calcular o wronskiano, utilizando o método de Laplace
Então
O wronskiano é nulo. Logo, as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Para determinar a dependência entre elas, vamos utilizar 3 constantes na forma:
E para que elas sejam combinações lineares, pelo menos uma das constantes deve ser diferente de 0.
Então sabemos que:
E
Estabelecendo, por exemplo
Temos que
Então a relação de dependência entre as funções é
Resposta
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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .