Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

Ver Teoria

Enunciado

Identifique o valor de t entre os ponto s do intervalo [   - π , π   ] , onde as funções {   t ,   s e n   t ,   c o s   t } são linearmente dependentes.

( )   π

( ) - π

( ) π / 4

( )   0

( ) π / 3

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer saber para qual valor de t as nossas funções t , sen ⁡ t , cos ⁡ t são linearmente dependentes. Bom, podemos usar o teorema do Wronskiano para nos ajudar aqui.

A carinha do Wronskiano é a seguinte:

W = f 1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( x ) f ' 1 ( x ) f ' 2 ( x ) f ' 3 ( x ) f ' ' 1 ( x ) f ' ' 2 ( x ) f ' ' 3 ( x )

Bom, agora podemos substituir pelas nossas funções.

W = t sen ⁡ t cos ⁡ t 0 cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t - cos ⁡ t = - t cos 2 ⁡ t - t sen 2 ⁡ t = - t ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t )  

W = - t

Para serem linearmente dependentes, o valor do Wronskiano deve ser zero. Logo,

W = - t = 0 → t = 0

Logo, temos que t = 0 !

Resposta

t = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .