Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Passo 1

Para determinarmos a relação de dependência entre essas funções devemos calcular o wronskiano delas e, antes disso, devemos antes calcular as derivadas.

f 1 = x ,     f 2 = x ln ⁡ x ,     f 3 = x 2 ln ⁡ x

f 1 ' = 1 ,     f 2 ' = ln ⁡ x + 1 ,     f 3 ' = 2 x ln ⁡ x + x

f 1 ' ' = 0 ,     f 2 ' ' = 1 x ,     f 3 ' = 2 ln ⁡ x + 3

Logo o wronskiano será.

W x , x ln ⁡ x , x 2 ln ⁡ x = x x ln ⁡ x x 2 ln ⁡ x 1 ln ⁡ x + 1 2 x ln ⁡ x + x 0 1 x 2 ln ⁡ x + 3

Passo 2

Calculando o wronskiano.

W = x ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x + 3 + x 2 ln ⁡ x x - x 2 x ln ⁡ x + x x - 2 ln ⁡ x + 3 x ln ⁡ x

W = x 2 ln 2 ⁡ x + 5 ln ⁡ x + 3 + xln ⁡ x - 2 xln ⁡ x - x - 2 x ln 2 ⁡ x - 3 xln ⁡ x

W = 2 x + x ln ⁡ x

Para que as funções sejam LI basta que o wronskiano seja não nulo em um ponto do intervalo, que no nosso caso é x > 0 . Nesse Wronskiano podemos perceber que ele será diferente de zero para todos os pontos exceto para x = e - 2

2 x + x ln ⁡ x ≠ 0 ,   ∀ x ≠ e - 2

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .