IME, Cálculo 3, 2021, VE1, 1A
Considere a EDO não-homogênea , onde
- Encontre a solução geral da EDO homogênea associada;
- Encontre uma solução partícula da EDO não-homogênea; e
- Dê a solução geral da EDO.
Passo 1
A EDO homogênea associada é dada por:
Como possui coeficientes constantes buscamos solução da forma , tal que:
Esta última chamamos equação característica da EDO, pois nos permitirá achar os valores de que compõem a solução. Por inspeção visual:
e
Logo, substituindo na solução geral , encontramos que as soluções da EDO homogênea associada são .
Passo 2
Para garantir que as soluções encontradas compõem a solução geral da EDO de ordem é preciso garantir que há 2 soluções linearmente independentes. Se fosse ordem, seriam necessárias soluções L.I.
Dessa forma, utilizaremos o Wronskiano:
Como para pelo menos um valor de , as soluções são L.I.
Passo 3
Por fim, concluímos que a solução geral da EDO homogênea associada é:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .