Considere a EDO não-homogênea , onde
- Encontre a solução geral da EDO homogênea associada;
- Encontre uma solução partícula da EDO não-homogênea; e
- Dê a solução geral da EDO.
Passo 1
A EDO homogênea associada é dada por:
Como possui coeficientes constantes buscamos solução da forma , tal que:
Esta última chamamos equação característica da EDO, pois nos permitirá achar os valores de que compõem a solução. Por inspeção visual:
e
Logo, substituindo na solução geral , encontramos que as soluções da EDO homogênea associada são .
Passo 2
Para garantir que as soluções encontradas compõem a solução geral da EDO de ordem é preciso garantir que há 2 soluções linearmente independentes. Se fosse ordem, seriam necessárias soluções L.I.
Dessa forma, utilizaremos o Wronskiano:
Como para pelo menos um valor de , as soluções são L.I.
Passo 3
Por fim, concluímos que a solução geral da EDO homogênea associada é: