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Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Puc Rio - 2019.1; G1 de Cálculo 4

Questão 2 (Justifique todas as suas respostas):

Determine a solução geral da EDO

t 2 y ' ' + 3 t y ' + y = 0     t > 0

Sabendo que y 1 t = t - 1 é uma solução.

Passo 1

Ora, temos uma EDO de segunda ordem, então, a solução geral y t é dada por duas soluções fundamentais e linearmente independentes:

y t = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t

Onde c 1 e c 2 são constantes que dependem das condições iniciais!

Ora bolas! Se tivermos uma solução alredy, precisamos buscar a outra. E como podemos fazer isso?

EXATAMENTE! Variação de parâmetros!

Passo 2

A variação de parâmetros é um método que nos fala que se temos uma solução y 1 , a outra será dada assim:

y 2 = u t y 1   →

y 2 = u t t - 1

Onde u t é uma função que temos que encontrar!

Então... Derivando y 2 aplicando a regra do produto...

y 2 ' = u ' t t - 1 + u t - t - 2 →

y 2 ' = t - 1 u ' t - t - 2 u t

Bem, temos que resolver uma EDO de segunda ordem, portanto ainda devemos determinar a segunda derivada:

y 2 ' ' = u ' ' t t - 1 + u ' t - t - 2 - t - 2 u ' t - 2 t - 3 u t →

Simplificando vamos obter...

y 2 ' ' = u ' ' t t - 1 - 2 t - 2 u ' t + 2 t - 3 u t

Então, se temos y 2 e suas derivadas, podemos substitui-las na EDO:

t 2 y ' ' + 3 t y ' + y = 0   →

t 2 u ' ' t t - 1 - 2 t - 2 u ' t + 2 t - 3 u t + 3 t t - 1 u ' t - t - 2 u t + u t t - 1 = 0

Nossa! Que equação grande! Vamos simplificar isso aí?

Passo 3

Pow, lembre-se de que t 2 ⋅ t - 1 = t 2 - 1 , ou seja, o produto de potências de mesma base, se repete a base soma os expoentes ;)

u ' ' t t 2 t - 1 - 2 t 2 t - 2 u ' t + 2 t 2 t - 3 u t + 3 t t - 1 u ' t - 3 t t - 2 u t + u t t - 1 = 0 →

t u ' ' t - 2 u ' t + 2 t - 1 u t + 3 u ' t - 3 t - 1 u t + u t t - 1 = 0 →

Tirando dos colchetes...

t u ' ' t - 2 u ' t + 2 t - 1 u t + 3 u ' t - 3 t - 1 u t + u t t - 1 = 0 →

t u ' ' t + u ' t = 0

Agora temos que resolver essa EDO aí!

Passo 4

t u ' ' t + u ' t = 0

Ora bolas! Se fizermos uma mudança de variável do tipo...

u ' t = f t

Então...

u ' ' t = f ' t

Logo...

t f ' t + f t = 0   →

Como t > 0 ...

f ' t + 1 t f t = 0

Ora bolas... Essa EDO é desse tipo aqui:

y ' t + A t y t = B t

O que a caracteriza como uma EDO linear que podemos resolver usando os conceitos de fator integrante. No nosso caso...

f ' t + 1 t f t = 0               →                       A t = 1 t     e           B t = 0

A solução de uma EDO desse tipo é assim:

f t = 1 I t ∫ I t ⋅ B t   d t + C   →

Como B t = 0 ...

f t = 1 I t C   →

Onde C é uma constante e I é o fator integrante e que se calcula assim:

I t = e ∫ A t d t

Logo...

I t = e ∫ 1 t d t →

I t = e ln ⁡ t = t

Então...

f t = 1 t C  

Essa constante C é uma constante que veio da solução da EDO e não precisamos dela, então...

f t = 1 t

Passo 5

Agora quem é u a partir de f t ? Bem...

u ' t = f t

Então...

u ' t = 1 t

Integrando...

u t = ∫ 1 t   d t

u t = ln ⁡ t

Veja que normalmente aparece outra constante de integração, mas não precisamos coloca-la aqui novamente ;)

A resposta da segunda solução então é...

y 2 t = u t t - 1 →

y 2 t = ln ⁡ t t - 1

Passo 6

Calma jovem gafanhoto! Antes de substituir na equação geral da solução da EDO como vimos no passo 1, temos que verificar se essa solução e a solução y 1 são Linearmente independentes! Para isso, calculemos o Wronskiano...

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Então...

W = t - 1 ln ⁡ t t - 1 - t - 2 - ln ⁡ t t - 2 + 1 t t - 1   →

W = t - 1 ln ⁡ t t - 1 - t - 2 - ln ⁡ t t - 2 + t - 2   →

Calculando o determinante...

det ⁡ W = t - 1 - ln ⁡ t t - 2 + t - 2 - ln ⁡ t t - 1 - t - 2 =

- ln ⁡ t t - 3 + t - 3 + ln ⁡ t t - 3 =

t - 3

Como t > 0 , então o Wronskiano é sempre diferente de 0 , logo de fato são duas soluções LI! Então a resposta geral será...

y t = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t   →

y t = c 1 t - 1 + c 2 ln ⁡ t t - 1

Resposta

y t = c 1 t - 1 + c 2 ln ⁡ t t - 1

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