Considere um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, ou seja, no orbital s do primeiro nível de energia, onde e . A probabilidade do elétron estar na região de coordenadas esféricas com , com e com é proporcional a
onde está relacionada com a equação de Legendre
e está relacionada com a equação de Laguerre
O objetivo desse exercício ´eé mostrar que as equações acima sempre possuem uma solução polinomial e qualquer outra solução não proporcional a ela possui assíntota vertical, de modo que, nesse problema, a ´única solução que possui significado físicos é a solução polinomial.
a) Verifique que, substituindo na equação de Legendre, obtemos uma equação linear homogênea de primeira ordem. Determine a solução geral dessa equação.
b) Integrando por frações parciais a solução geral obtida no item anterior, determine a solução geral da equação de Legendre. Verifique que qualquer solução não constante possui assíntotas verticais em 1 e também em .
c) Obtenha o Wronskiano da equação de Laguerre, utilizando a fórmula de Abel e verifique que é solução da equação de Laguerre.
Passo 1
Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. Que enunciado enorme hein. Mas não se assusta, vamos com calma.
Começando pelo Item a), primeiro ele pede pra gente verificar o que acontece quando substituímos uma função na equação de Legendre. Dessa forma obtemos:
Que é uma equação linear homogênea de primeira ordem.
Dividindo Vamos dividir por pra isolar nossa derivada , então obtemos:
Pra resolver integrais desse tipo.......
De modo que, a solução para a probabilidade temos:
Integrando essa função, obtemos:
Pra resolver essa integral, vamos precisar fazer uma substituição:
Substituindo
Então nossa integral fica assim:
Agora voltando pra variável original:
De modo que:
Maaaaas, essa equação também é homogênea, de forma que a sua solução geral é dada por:
Passo 2
Para o item b), vamos novamente fazer o que o item pede e a partir daí temos uma observação de solução. O comando é bem direto: Ttemos que integrando a solução geral obtida no item anterioressa solução que acabamos de encontrar, usando FRAÇÕES PARCIAIS!:
Pra rResolvendor por frações parciais, temos que primeiro fatorar o denominador:
E agora vamos separar nossa fração e duas:
De modo que
Resolvendo:
Logo, a solução geral da equação de Legendre é dada por
E de fato, ela possui essas assíntotas pois se tratam dos zeros da equação, com as duas levando para em infinito () e -infinito em (.
Passo 3
Por fim, aqui no passo 3, vamos resolver o item c). Precisamos encontrar o Wronskiano da equação de Laguerre, utilizando a fórmula de Abel.
Primeiro passo para resolver é colocando a equação de Laguerre na forma:
Isso para obtermos o Wronskiano. Dessa forma:
Logo,
E podemos tomar também:
Agora usando a formula de Abel como é pedido, temos que:
Agora vamos manipular nosso expoente ali pra ficar mais bonitinho
para quaisquer duas soluções y1(x), y2(x) da equação de Laguerre.