Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo
Passo 1
Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.
Passo 2
Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:
Portanto vamos começar calculando as derivadas:
Para
Para
Para
Perceba que e são diferenciáveis vezes no intervalo
Passo 3
Vamos calcular o Wronskiano agora:
Passo 4
Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo
Podemos afirmar que e são Linearmente Independentes.
Resposta
e são Linearmente Independentes.
Exercícios de Livros Relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .