UFPE, Final, 2018.2, 2.
Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras posso usar os 28 ingressos que tenho com 5 diferentes brinquedos de um parque, se desejo ir em cada brinquedo pelo menos 2 vezes e no máximo 7? (Não interessa a ordem do uso, apenas quantas vezes em cada brinquedo.)
a) Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas usando o princípio de inclusão e exclusão.
b) Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva
procurando o coeficiente adequado.
Passo 1
E aiii, galerinhaa!!
Bom, aqui, temos que antes de tudo, interpretar o enunciado. Nós temos 28 ingressos: o total, para 5 brinquedos. Logo, teremos:
,
em que cada B é a possibilidade de brinquedos para cada um dos 5 ingressos. Estes valores são positivos e inteiros, já que não podemos rasgar ou dividir um ingresso. Além disso, teremos B maior ou igual a 2 e menor ou igual a 7 também.
Porém, nós temos algumas exigências: de que deseja-se ir pelo menos 2 vezes em cada brinquedo e no máximo 7. Assim, nós temos que, de 28 possibilidades, como temos que ir 2 vezes em cada um, teremos 5*2 ingressos a menos. Logo, teremos também que:
em que cada C é a possibilidade depois de gastarmos os 10 ingressos exigidos. Além disso, sabemos também que C = B - 2 e 0
Passo 2
Desta forma, em a, que é pedido o número de soluções inteiras adequadas usando o princípio de inclusão e exclusão, nós teremos:
Resolvendo essas combinações, teremos:
Logo, temos que o número de soluções é 305.
Passo 3
Em b, nós teremos que escrever a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolver procurando o coeficiente adequado. Ok, então, nós vamos aplicar o princípio, tendo que:
Colocando x² em evidência,
Assim, nós temos que a função geradora poderá ser dada por
Como queremos o coeficiente de x^28 desta equação, precisamos encontrar o coeficiente de em
Resolvendo essas continhas, nós teremos que o coeficiente de x^n na equação é dado por:
Prontinho, chegamos no valor de 305 também.
Resposta
a) 305.
b) 305.