UFPE, 1Avaliação, 2018.2, 2a.
Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras podemos pintar 23 bolas iguais se temos tintas amarela, azul e vermelha suficientes para pintar no máximo 8 bolas com a mesma cor, e queremos usar cada cor pelo menos 3 vezes?
a. Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas.
b. Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva procurando o coeficiente adequado.
Passo 1
E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória. Nós temos uma situação de 23 bolas, que serão distribuídas para 3 cores, sendo que queremos pintar no máximo 8 bolas, usando *pelo menos* 3*2 vezes cada uma. Ou seja, como 3 bolas recebem pelo menos duas pinturas, teremos já 6 cores distribuídas e as restantes das 14 bolas, sendo distribuídas entre todas as cores, certo? Assim, é como se a gente tivesse uma equação de valores inteiros positivos (já que não podemos cortar as bolas e não há valor negativo para a quantidade de bolas), sendo então:
sendo que
E também teremos o caso após pintarmos as 3 bolas:
Passo 2
Certo, agora conseguimos colocar nosso pensamento em prática. Como temos um caso de combinação em que o ciclo se repetirá até o número de bolas acabar, nós vamos utilizar a fórmula de combinação por repetição, ok? Logo, teremos:
Logo, teremos que:
Assim, teremos:
E prontinho! O número de soluções inteiras adequadas será 3. Fácil, né?
Passo 3
Em b, nós teremos que
Como temos 8 cores de bolas e ao menos 3 que serão pintadas, então nossa fórmula será:
Vamos ajeitar juntos essa equação:
Pela forma do coeficiente adequado, teremos então que 23, o total de bolas subtraído de 9, o coeficiente de x, é igual a 14. Logo,
Passo 4
Assim, teremos que o coeficiente de na função geradora é igual ao coeficiente de em
Como temos que
Assim, nós temos que:
Prontinho! Assim como em a, encontramos o valor de 3.
Resposta
a) 3.
b) 3.