Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para cada seqüência:

a) (0,5) (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

b) (0,5) (0, 0, 2, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, ...)

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória. Aqui, nós sabemos que em a, a equação de (1,0,1,0,1,0,1,0,...) tem a função geradora ordinária dada por

(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8), sendo   f ( x ) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4 + a 6 x 7 . . .

Passo 2

Logo, teremos aqui que:

f ( x ) = 1 + 0 . x + 1 x 2 + 0 x 3 + 1 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 , logo,

f ( x ) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . .

cuja forma fechada será de

f ( x ) = 1 1 - x 2

Passo 3

Já em b, nós temos a equação de (0,0,2,0,4,0,6,0,8,0,...)

f ( x ) = 0 + 0 . x + 2 x 2 + 0 x 3 + 4 x 4 + 0 x 5 + 6 x 6 + 0 x 7 + 8 x 8 + 0 x 9 , logo,

f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 4 + 6 x 6 + 8 x 8 + . . .

Passo 4

Aqui, podemos observar que

g ( x ) = x . f ' ( x ) ,   d e   a

Logo, teremos:

g ( x ) = x . ( 1 1 - x 2 ) ' = x . ( ( 1 - x 2 ) - 1 ) 1 = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Logo, a forma fechada será de

g ( x ) = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Resposta

a) f ( x ) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . . e f ( x ) = 1 1 - x 2

b) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 4 + 6 x 6 + 8 x 8 + . . . e g ( x ) = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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