UFPE – Introdução à combinatória – Avaliação 1 – Questão 1c
Quantos números de 5 dígitos divisíveis por 5 existem? E com dígitos diferentes?
Passo 1
Oi pessoal, beleza? Vamos começar relembrando como a gente determina que um número é divisível por 5:
- Números que terminem em 5 OU em 0
E temos 10 algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9
Passo 2
Vamos descobrir primeiro quantos números de 5 dígitos que podem ter elementos repetidos.
Em cima está indicada a quantidade de elementos que podemos ter naquela posição. Embaixo são os elementos:
Na primeira posição (bem à esquerda) não podemos ter o elemento , mas nas outras opções sim! Já que não precisamos pensar que os elementos têm de ser distintos, podemos repetir todos os 10 algarismos nas 3 posições centrais.
Já para o número ser divisível por 5, ele tem que terminar ou em 5 ou em 0, por isso que na posição bem à direita temos apenas duas opções.
Temos então um total de números.
Passo 3
Agora vamos pensar que não podemos repetir os elementos.
Sendo assim eu vou dividir esse cálculo em duas partes: achar primeiro os números que terminam com 5 e depois os que terminam com 0.
Começando com 5 no final.
Na posição bem à direita, temos apenas uma possibilidade, o 5. Portanto 1 possibilidade.
Na posição bem à esquerda, não podemos ter nem o 0 e nem o 5 (pois já foi escolhido). Então temos 8 elementos.
Já nas 3 posições centrais, podemos ter 8, 7 e 6 elementos. A possibilidade de 8 se repete porque podemos incluir o 0, daí ele conta como mais um elemento.
Assim as possibilidades são:
Beleza?
Passo 4
Agora vamos pensar nos números que terminam em . Agora não temos mais a restrição de não começar por 0, pois esse elemento vai estar na posição à direita.
Para as outras posições, podemos ter todos os outros elementos, sem repetição. Então temos um arranjo simples de 9 elementos com 4 posições:
E assim o número total de números com 5 dígitos divisíveis por sem repetição e algarismos é:
Beleza?
Espero ter ajudado!