Enuncie e demonstre o Teorema das Diagonais.

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisamos relembrar alguns assuntos de análise combinatória para enunciar o Teorema das Diagonais. Ela é uma identidade que diz o seguinte:

"A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste."

Escrevendo pela notação dos binomiais, temos:

Passo 2

É muito fácil de entendermos a relação de Stifel quando lembramos da torre de Pascal. Vamos pensar um pouquinho:

Agora conseguimos demonstrar o teorema!! Pelas propriedades dos binomiais, conseguimos começar a demonstração, relembrando a propriedade dos binomiais complementares:

A partir dela, temos:

Utilizando o Teorema das Colunas, temos também que:

E colocando no Teorema dos Binomiais novamente,

Assim, concluímos a justificativa do Teorema das Diagonais, como pedido:

E prontinho!!

Resposta

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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