Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

Quantas sequências ternárias (com componentes em {0, 1, 2}) existem nas quais o número de 1’s é par?

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória. Aqui, nós sabemos que o número de sequências ternárias com 0, 1 e 2 com o número de 1’s sendo par. Essa contagem apresenta função geradora exponencial, em que, como temos uma equação não imprópria, a ordem importa. Sendo assim, nós temos que, com 1’s par:

( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . ) 2 * ( 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + . . . )

Passo 2

Sendo que, o primeiro termo é a respeito aos 0’s e 2’s, e o segundo o número de 1’s.

Assim, transformando esta equação para encontrar as sequências ternárias, teremos que:

( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . ) 2 * ( 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + . . . )

= ( e x ) 2 . ( e x + e - x 2 ) = 1 2 ( e 3 x + e x )

Assim, esse valor ter coeficiente x n n ! , sendo igual a:

1 2 ( 3 n + 1 )

Resposta

1 2 ( 3 n + 1 )

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