2a) Quantas são as formas de distribuir 20 balas por 5 crianças sendo que, dentre estas, João e Maria ganham pelo menos 3 balas cada?

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de Análise combinatória. Nós temos uma situação de 20 balas, que serão distribuídas para 5 crianças, sendo que 2 destas 5 crianças, ganham *pelo menos* 3 balas cada uma. Ou seja, como 2 crianças recebem pelo menos 3 cada, teremos já 6 balas distribuídas e as restantes das 14 balas, sendo distribuídas entre todas, certo? Assim, é como se a gente tivesse uma equação de valores inteiros positivos (já que não podemos cortar as balas e não há valor negativo para a quantidade de balas), sendo então:

n C r i a n ç a 1 + n C r i a n ç a 2 + n C r i a n ç a 3 + n C r i a n ç a 4 + n C r i a n ç a 5 = 14

em que nCriança1, nCriança2, nCriança3, nCriança4 e nCriança5 é o número de balas que cada uma receberá.

Passo 2

Certo, agora conseguimos colocar nosso pensamento em prática. Como temos um caso de combinação em que o ciclo se repetirá até o número de balas acabar, nós vamos utilizar a fórmula de combinação por repetição, ok? Logo, teremos:

C R p , n = P n - 1 + p n - 1 , p = C n - 1 + p , p aplicado nos valores de p = 14, n =5. Vamos colocar em prática juntos?

Teremos:

C R 14,5 = C 5 - 1 + 14,14 = C 5 - 1 + 14 5 - 1 = C 18 4 = 18 ! 14 ! * 4 ! = 18 * 17 * 16 * 15 * 14 ! 14 ! * 4 !

Bom, podemos cortar os valores de 14! com 14!, que são iguais, certo? Assim, teremos:

C R 14,5 = 18 * 17 * 16 * 15 4 ! = 18 * 17 * 16 * 15 4 * 3 * 2 * 1 = 73.440 24 = 3060

Prontinho, resolvemos!! Haverá 3.060 formas diferentes de distribuir as balas entre as 5 crianças, sendo que João e Maria terão pelo menos 3 balas cada um. Fácil, né?

Resposta

a) 3.060 formas.

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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