UFPE, 1Avaliação, 2018.2, 2a.
2a) Quantas são as formas de distribuir 20 balas por 5 crianças sendo que, dentre estas, João e Maria ganham pelo menos 3 balas cada?
Passo 1
E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de Análise combinatória. Nós temos uma situação de 20 balas, que serão distribuídas para 5 crianças, sendo que 2 destas 5 crianças, ganham *pelo menos* 3 balas cada uma. Ou seja, como 2 crianças recebem pelo menos 3 cada, teremos já 6 balas distribuídas e as restantes das 14 balas, sendo distribuídas entre todas, certo? Assim, é como se a gente tivesse uma equação de valores inteiros positivos (já que não podemos cortar as balas e não há valor negativo para a quantidade de balas), sendo então:
em que nCriança1, nCriança2, nCriança3, nCriança4 e nCriança5 é o número de balas que cada uma receberá.
Passo 2
Certo, agora conseguimos colocar nosso pensamento em prática. Como temos um caso de combinação em que o ciclo se repetirá até o número de balas acabar, nós vamos utilizar a fórmula de combinação por repetição, ok? Logo, teremos:
aplicado nos valores de p = 14, n =5. Vamos colocar em prática juntos?
Teremos:
Bom, podemos cortar os valores de 14! com 14!, que são iguais, certo? Assim, teremos:
Prontinho, resolvemos!! Haverá 3.060 formas diferentes de distribuir as balas entre as 5 crianças, sendo que João e Maria terão pelo menos 3 balas cada um. Fácil, né?
Resposta
a) 3.060 formas.