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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Exercício 812345679101112131415161718192021222324

Enunciado

UFPE, 1Avaliação, 2018.2, 5.

a) Escreva a função geradora (também na "forma fechada") que pode ser usada para encontrar o número de partições de n, um inteiro positivo qualquer, com maior parte igual a k.

b) (0,5) Justifique porque essa função também pode ser usada para o problema de encontrar o número de partições de n com exatamente k partes.

c) (0,5) Exemplifique a função descrita no item a) para n = 10 e k = 3.

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória.

Em a, nós temos que a função geradora para partições de n com maior parte igual a k, ou seja, teremos que:

( 1 + x + x 2 + x 3 + . . . ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . ) . . . ( x k + x k + k + x k + k + k + . . . ) , que será igual a:

= 1 1 - x . 1 1 - x 2 . . . ( 1 1 - x k - 1 ) = (   i = 1 k - 1 1 1 - x i ) . ( 1 1 - x k - 1 )

Passo 2

Em b, nós teremos que, como é possível mostrar que a cada pontuação com a maior parte sendo k corresponde por conjugação uma partição com exatamente k partes, temos que p k ( n ) = q k ( n ) e a função acima nos dá como coeficiente de x^n tanto como o outro.

Passo 3

Em c, teremos que para n = 10 e k = 3, então substituindo na equação da letra a:

( 1 + x + x 2 + . . . + x 10 ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x 8 + x 10 ) ( x 3 + x 6 + x 9 )

Prontinho!! Resolvemos a letra a, b e c utilizando as equações e os dados, fácil né?

Resposta

a. (   i = 1 k - 1 1 1 - x i ) . ( 1 1 - x k - 1 ) .

b. Justificativa acima.

c. ( 1 + x + x 2 + . . . + x 10 ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x 8 + x 10 ) ( x 3 + x 6 + x 9 ) .

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