UFPE – Introdução à combinatória – Avaliação 1 – Questão 1e
De quantas formas podemos distribuir 15 diferentes livros em 4 caixas iguais, sendo 3 caixas com 4 livros e uma com 3?
Passo 1
Oi Pessoal, tudo bem?
Então, quando queremos distribuir algumas quantidades e que a ordem não importa estamos falando de combinação! Certo?
E mais! Quando estamos falando de uma forma de combinar que podemos ter várias opções de combinações, a gente tá falando de combinação de combinações!
Mas calma, vou explicar melhor! Como no nosso exercício, queremos distribuir 15 livros em 4 caixas iguais, mas podemos ter 3 caixas com 4 livros e outra caixa com 3. Então esses 15 livros podem estar dentro de qualquer uma dessas 4 caixas, então a possibilidade de combinações é a multiplicação de cada uma das combinações!
Passo 2
Para a primeira caixa vamos ter 15 livros podendo ser arranjados de 4 a 4.
Para a segunda caixa já não temos mais 15, temos 11 livros (4 foram guardados na primeira caixa, então ), combinados de 4 a 4.
Na terceira caixa não temos mais 11 livros, temos 7 (pois ), também podendo ser combinados de 4 a 4.
Por fim, na quarta e última caixa temos 3 livros sobrando, e que podem ser arranjados de 3 a 3.
Assim, o número de possibilidades vai ser a multiplicação de todas essas combinações:
Beleza?
Passo 3
Como relembrar é viver, uma combinação , então vamos aplicar essa fórmula para cada combinação na multiplicação do passo anterior:
Lembrando que , podemos abrir esses fatoriais até poder cortar com algum do denominador:
Passo 4
Acabou por aqui? Ainda não!
Precisamos também multiplicar por mais uma coisinha: pelo número de permutações das 3 caixas com 4 livros cada! Pois os mesmos livros podem estar em caixas em outra ordem, e aí sim vai ser a mesma combinação!
Então precisamos ainda multiplicar esse último número por (para garantir que nenhuma combinação vai ser igual, apenas fora de ordem):
Agora sim acabamos! O número de combinações é , beleza?