Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 22
Passo 2
Passo 3
Fala aí, galerinha! Mais um exercício de integral de linha de um campo vetorial e vamos resolver essa questão bem rapidinho aplicando a curva na integral que queremos calcular!
Veja que a nossa definição da integral de linha é:
E o que nosso enunciado nos deu foi que a função é:
Enquanto a função vetorial é a expressão:
E nosso intervalo de integração é definido no próprio enunciado no intervalo de
Vamos lembrar que os valores que estão marcados em negrito, são os valores que são vetores, então tanto faz usar a setinha em cima da letra ou deixar ela em negrito 😊
Agora é hora de separar os elementos que vamos usar na nossa fórmula!
Passo 4
No passo passado falamos que a definição da integral de linha é dada por
Considerando que a função vetorial é:
Calculando a derivada de , chegamos que:
Finalizamos essa derivada quando chegamos em:
Chegamos na derivada!
Passo 5
Nossa expressão dada no enunciado é:
Temos que descobrir na nossa função vetorial quem são os valores e :
O valor de é aquele que acompanha o vetor unitário , enquanto o valor de é uqe acompanha o vetor unitário :
Logo, nossa expressão se torna:
Chegamos na nossa expressão de !
Passo 6
Ta na hora mais legal da questão: HORA DE APLICAR OS VALORES NA FÓRMULA!
Chegamos nos seguintes dados:
Nossa fórmula da integral de linha é:
Então aplicando nossos valores:
Para fazer esse produto escalar, temos que fazer o produto do primeiro valor do primeiro valor do segundo vetor e somar com o produto do segundo valor do primeiro vetor com o segundo valor do segundo vetor e assim por diante:
Logo nossa integral fica como:
Resolvendo essa integral, ficamos com:
Aplicando esses valores:
Questão finalizada com sucesso, pessoal!!!