Calcule a integral de linha do campo
Ao longo de uma curva fechada simples orientada positivamente e satisfazendo as duas seguintes propriedades:
- O círculo de centro em e raio está no interior da região limitada pela curva ;
- A área da região delimitada por é .
Passo 1
Bom, se a questão relaciona uma integral de linha com uma área (integral dupla), já sabemos que estamos falando de Green. Ainda mais porque ela não nos dá essa curva .
Certo, se estamos falando de Green, vamos começar calculando o termo :
Passo 2
Agora vamos aplicar Green, mas com calma. Repare que temos uma singularidade no ponto (o denominador do campo dá zero), portanto, precisamos excluir ese ponto da região.
Bom como a questão fala que O círculo de centro em e raio está no interior da região limitada pela curva , vamos usar esse círculo para isolar o ponto (repare que o ponto está dentro dele). Bom, isso pode não ser uma boa ideia por causa do denominador do campo: .
Seria muito melhor se a gente isolasse esse ponto com a circunferência .
E nós podemos fazer isso, porque essa circunferência está dentro da cicunferência de raio centrada na origem, que o problema afirma estar dentro de . Portanto, a circunferência de raio deslocada também está dentro de !
Então, vamos isolar o ponto com essa nova circunferência.
Sendo, então, a região entre e essa circunferência deslocada e sendo orientada no sentido anti-horário e a circunferência horário, temos:
A questão também fala que a área da região delimitada por é . Podemos escrever então:
Como a circunferência tem raio , sua área é dada por :
Passo 3
Agora falta a integral na circunferência. Vamos parametrizá-la em coordenadas polares deslocadas com :
Como ela gira no sentido horário, vai de a . Agora derivamos isso aí:
Aplicamos a fórmula:
Lembrando que
Passo 4
Temos, então: