Teorema de Green
Calcule , onde
E é a circunferência unitária orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Bom, como esse campo tem uma expressão muito grande, calcular a integral de linha pela definição aqui não parece uma boa ideia. Vamos tentar aplicar o Teorema de Green.
Agora que vem a malícia da questão. Se você reparar, o termo , presente na primeira parte do campo tem muita semelhança com o termo , presente na segunda. Se a gente calcular a diferença das derivadas parciais
Só com esses dois termos, ela vai dar zero, O seja, o campo seria conservativo se só tivesse esses termos.
Bom.. Que tal então a gente fazer isso acontecer? Vamos dividir esse campo em 2:
Beleza? Então, podemos escrever:
Ou seja, primeiro vamos resolver o problema só com o campo , depois só com o e, então, somar as respostas.
Passo 2
Para o campo
Aqui nós temos um problema, se você reparar, o campo não está definido na origem , que pertence ao interior da nossa curva.
Então, nossa região não pode ser o interior da circinferência de raio . Vamos, então, fazer uma outra curva que envolva a origem(orientada em sentido horário), e considerar nossa região como o anel formado pelas duas.
Beleza, conseguimos tirar a origem da jogada tornando nossa região um anel, agora podemos aplicar Green.
Onde é o anel que está entre os dois círculos. Temos então:
Ótimo, com tínhamos previsto, o campo é conservativo. Isso nos dá que:
Ok, agora vamos ver quem é .
Agora repara o seguinte, temos no denominador do campo... Parece uma elipse, não é? Não seria muito bom se a nossa curva fosse uma elipse desse tipo? Olha só, vamos definir a elipse :
Sua parametrização, em coordenadas elípticas é:
Quando a gente aplicar isso aí na função do campo, as coisas vão ficar muito mais simples, porque o termo vai virar 1. Olha que lindo né.
Como a circunferência está orientada no sentido anti-horário, para nossa curva estar orientada positivamente, a elipse deve ser percorrida no sentido horário, ou seja, vai desde até .
Vamos calcular agora a derivada dessa parametrização:
Então, usando a definição de integral de linha, podemos escrever o seguinte:
O campo
Escrito em termos da parametrização
Fica
Substituindo o campo, a derivada da parametrização e os seus intervalos na integral, temos:
Calma que não acabou, ainda falta o campo !
Passo 3
Para o campo
Vamos lá, gente, força, quase acabando. O outro campo é o seguinte:
E nós queremos
Bom, como esse campo não tem nenhum problema com a origem, podemos usar só a circunferência do enunciado para limitar nossa região, né? Vamos aplicar Green nesse aqui:
Temos então
Onde é a região dentro da circunferência . Agora é só resolver essa integral dupla aí, vamos usar coordenadas polares:
A nossa região é escrita então como , . Levando isso para a nossa integral, temos:
Agora, precisamos lembrar daquela relação de arco duplo:
Passo 4
Como nós dissemos lá no início, a integral que queremos é dada por:
Substituindo os valores que encontramos