UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2019.2, Questão 4
Sejam
e
Calcular a integral de campo vetorial , onde é a curva , para .
Passo 1
A questão nos pede
Que é o mesmo que
Observando os campos, em F notamos logo existir uma singularidade. Já em G não, então vamos começar por G que parece mais tranquila. Pelo teorema de green temos:
Logo:
Delicinha quando as coisas dão zero. Menos trabalho pra gente. Partindo agora pra próxima integral
Passo 2
Queremos agora calcular quando
Como que faz pra calcular a integral de linha nesse campo horroroso? Eu mesmo não sei fazer, mas como estamos trabalhando com um campo com singularidade em (0,0) vamos aplicar o teorema de green. Nosso teorema pra essa caso fica assim:
Aonde será a nova curva que vamos usar para excluir a singularidade.
Calculando
O campo vetorial pode ser escrito como
Vamos agora calcular :
Aplicando o teorema de Green, temos:
Passo 3
Maravilha! Vamos então agora só calcular a integral de linha em cima da curva que escolhemos pra excluir a singularidade da origem. No caso a gente ainda não escolhei a curva. Pra facilitar nossa vida, observa que no denominador da singularidade temos certo? Então vamos usar uma esfera de raio 1, assim, quando formos aplicar a parametrização no campo, nosso denominador vai ficar valendo só 1! Facilita nossa vida, e faz o serviço de excluir a singularidade, haha, vem comigo.
Montando então a integral:
Passo 4
Prontinho, voltando então temos: