Calculo 3 – UFPE – 1° EE
Seja um campo vetorial definido em . Calcule a integral ao longo das curvas e , orientada no sentido anti-horário, onde:
- é a circunferência da equação .
- é a fronteira do retângulo .
Passo 1
Vamos começar resolvendo a letra a).
Para este caso, não podemos utilizar o Teorema de Green para resolvermos a questão. Isto ocorre, pois, a função não possui derivadas parciais contínuas na origem. Portanto, não podemos aplicar este Teorema.
Por causa disto, precisamos resolver do bom e velho método, utilizando as integrais de linha.
Para isto, começamos parametrizando nossa curva. Logo, , . Calculando a derivada da curva parametrizada, temos:
Agora sim, podemos partir para a integral de linha em si! Vamos as contas!
Percebam que no lugar de e do campo vetorial, aplicamos as coordenadas da curva parametrizada. Além disto, .
Continuando as contas, temos:
Mudando para soma de arco duplo para conseguirmos integrar, temos:
E assim finalizamos a primeira parte da questão!
Passo 2
Agora temos que calcular uma outra integral de linha sobre uma curva diferente da letra a). O mesmo problema acontece em relação ao teorema de Green. Por causa do problema na origem , não conseguimos utilizar este teorema diretamente.
E além do mais, como a região é um retângulo, para parametrizá-la, precisaremos definir 4 curvas diferentes.
Por causa disto, começamos a ter muito trabalho. Bom, temos então duas opções. A primeira, na boa e velha fé, parametrizamos as 4 curvas e calculamos 4 integrais de linha.
Com esta opção não precisamos pensar, só precisamos agir. E qual é a segunda?
Bom, esta segunda pode (e vai) usar mais da nossa cabeça, mas eu garanto que vai ser resolvida bem facilmente! E é com ela que vamos trabalhar.
A ideia aqui é utilizarmos o teorema de Green estendido, para o caso de regiões com furos (a nossa origem é um furo)! Este teorema estendido nos diz que:
Mudamos a orientação da curva porque ela é interna a . Então, para mantermos a questão da orientação positiva da região, precisamos colocar a curva no sentido anti-horário.
Continuando, como já calculamos uma das integrais na letra a), a integral na curva será:
Então, o nosso problema se resume a um caso de integral duplas! Na região que é a região do retângulo menos a região circular formado pela curva .
Passo 3
Vamos agora calcular a integral dupla definida no Passo 2. Para isto, precisamos saber quem são essas funções e primeiramente.
Para sabermos quem elas são, basta olharmos para o nosso campo vetorial. A sua primeira coordenada é a função , e a sua segunda coordenada, , é a função .
Portanto, as derivadas parciais são:
E sendo assim, a nossa integral dupla se torna:
Portanto, só precisamos calcular a área. Subtraindo a área do retângulo da área da circunferência de raio 2, teremos:
Portanto, o resultado da integral de linha do campo vetorial sobre a curva é dado por: