23) Calcule onde
e é a curva fechada formada pelas curvas , e , , percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando é
e ele é chato!
Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos
Passo 2
Calculando a derivada parcial não se esquecendo de aplicar a regra da fração...
Calculando agora a segunda derivada parcial...
logo
De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green
Passo 3
O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:
Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:
1º - Uma região fechada que tem com borda, a curva fechada .
2º - Orientadas positivamente.
3º - Um campo sem singularidades onde estamos trabalhando.
Vamos averiguar?
Passo 4
O primeiro, como vimos, nos diz que precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região . Ora, a curva , pelo próprio enunciado, é fechada e a construindo colocando as retas e a parábola ela é...
Quanto ao orientada positivamente, está ok, pois a curva gira no sentido anti-horário.
Passo 5
Em relação ao campo sem singularidades, bem... Ele possui uma singularidade:
Pois sabemos que o denominador não pode zerar, e se completarmos quadrado em ...
vamos observar que no ponto e , esse cara zera ! Mas calma, pois podemos contornar esse problema se eliminarmos esse ponto com uma circunferência de raio e centrada em : que vamos chamar de :
Note que ela necessariamente tem que estar girando no sentido horário e que a região agora sofreu um recorte:
Passo 6
Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:
Bem, cuidado que aqui tem um detalhe muito importante! Se você reparar a região com mais cuidado,
verá que a fronteira dele é a curva e a curva que adicionamos (a circunferência verde), logo...
Um outro detalhe é que a curva tem que necessariamente estar girando no sentido horário, mas podemos inverter isso se trocarmos o sinal da integral pelo sinal de ...
Se queremos a integral de linha em , calculemos essas integrais do lado direito e tá tudo certo (hehe ). Bora?
Passo 7
Vamos primeiro calcular essa integral dupla aí:
Essa integral dupla nos representa a área dessa região :
Como a região é simétrica em relação ao eixo ...
Basta que calculemos a área desta parte de cima e depois multiplicamos por ...
e mais, a área da região é a área dessa região menos a do semicírculo de raio ...
Passo 8
Para resolver essa integral aí, antes devemos colocar em forma de intervalos e podemos fazer essa descrição como do tipo ...
Como a reta vermelha é essa de equação , isolando o ...
Em relação à parábola ...
Montando a integral, portanto...
Como
Passo 9
Fazendo agora a integral de linha
em cima da reta que adicionemos (esse menos só significa que a curva gira no sentido anti-horário mesmo):
- Precisamos dela parametrizada e como é uma circunferência de raio e deslocada em ...
- O termo é...
- Não se esqueça de trocar os termos da função ...
ou
como estamos dando uma volta completa...
e como e a nossa curva é uma circunferência onde ...
Substituindo na integral de linha...
Se ...
Passo 10
Voltando ao teorema de Green...