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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' - 3 y ' ' + 4 y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 - 3 r 2 + 4 = 0

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 - 3 r 2 + 4 = 0

A primeira coisa que vamos fazer é chutar soluções e é fácil ver que r = 2   é solução, então:

( r - 2 ) r 2 - r - 2 = 0

Então:

r - 2 2 r + 1 = 0

Assim vamos ter

r 1 = 2

r 2 = 2

r 3 = - 1

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Temos uma raiz de multiplicidade dois e uma de multiplicidade 1, então temos:

y 1 = C 1 e 2 x

y 2 = C 2 x e 2 x

y 3 = C 3 e - x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 e 2 x + C 2 x e 2 x + C 3 e - x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y ' ' ' - 3 y ' ' + 4 y = e 2 x

Como a nossa função ali do lado direito é uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Mas repara que temos uma constante e e 2 x na solução da homogênea, assim o nosso chute pra solução particular teria que ser multiplicado por x e com isso teríamos x e 2 x . Mas esse cara também está na nossa solução homogênea! Então temos que multiplicar por x de novo!

y p 1 = A x 2 e 2 x

Assim vamos ter

y ' p 1 = 2 A x + x 2 e 2 x

y p 1 ' ' = 2 A 1 + 4 x + 2 x 2 e 2 x

y p 1 ' ' ' = 4 A 3 + 6 x + 2 x 2 e 2 x

Substituindo na EDO vamos ter

4 A 3 + 6 x + 2 x 2 e 2 x - 3 ⋅ 2 A 1 + 4 x + 2 x 2 e 2 x + 4 ⋅ A x 2 e 2 x = e 2 x

Assim

6 A = 1   ⟹ A = 1 6

Passo 5

Agora encontramos uma solução particular para a seguinte EDO:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 4 y = x 2

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

y p 2 = A x 2 + B x + C

Assim vamos ter

y ' p 2 = 2 A x + B

y p 2 ' ' = 2 A

y p 2 ' ' ' = 0

Substituindo na EDO vamos ter

0 - 3 ( 2 A ) + 4 A x 2 + B x + C = x 2

4 A x 2 + 4 B x + 4 C - 6 A = x 2

Assim vamos ter

4 A = 1 4 B = 0 4 C - 6 A = 0 ⟹ A = 1 4 B = 0 C = 3 8

Passo 6

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p 1 + y p 2

y = C 1 e 2 x + C 2 x e 2 x + C 3 e - x + 1 6 x 2 e 2 x + 1 4 x 2 + 3 8

Resposta

y = C 1 e 2 x + C 2 x e 2 x + C 3 e - x + 1 6 x 2 e 2 x + 1 4 x 2 + 3 8

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