Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Opa, é aquela EDO de grau maior que 2, pela cara da EDO a gente já ve que da para utilizar o método do coeficiente a determinar para resolver, certo? Mas temos sempre que achar a homogênea antes, vamos para a equação característica:
Um macete do polinômio! Se você somar todos os coeficiente do polinômio e der , então é raiz, no caso do polinômio acima: , então é raiz! Então podemos escrever assim:
Sacou? Vamos achar essas constantes:
Igualando os coeficientes:
Substituindo a última na penúltima:
E pronto, as contantes são : , então ficou:
Mas agora a gente já sabe resolver:
Repara que a soma dos coeficientes deu , então já deveria ter pelo menos uma raiz igual a ! Então no fim das contas ficou:
Assim a solução da homogênea, para raízes múltiplas é:
Passo 2
Agora devemos determinar a solução particular, pelo princípio da superposição podemos analisar separadamente:
Para a EDO devemos chutar uma solução com a cara: , certo? Errado! Vai multiplicando por até obter uma solução que não seja igual a da homogênea, assim fica:
Vamos derivar esse cara:
Novamente:
EEE novamente:
Vou botar a EDO aqui de novo pra a gente se lembrar:
Vamos substituir isso na EDO:
Unindo esses caras(Sim, cortou tudo!)
Concluímos que:
Assim ficou:
Passo 3
A outra solução que devemos achar é:
Para essa podemos chutar o polinômio de menos grau, como temos uma função na EDO, já podemos chutar diretamente o grau do polinômio:
Derivando:
Substituindo:
Assim ficou:
Igualando os coeficientes:
Assim a solução particular é dada por:
Passo 4
A solução geral é dada por:
Que fica: