Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
A primeira coisa que vamos fazer é colocar o em evidência, mas nesse caso não temos como fazer isso.
A ideia agora seria usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação Vamos usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação.
As possíveis raízes de
Vão ser
Testando você vai ver que é uma das raízes dessa parada, então
Aplicando Briott-Ruffini, vamos ter no final das contas a seguinte parada
E a nossa nova equação vai ser
Passo 3
Ufa, chegamos numa equação de grau, agora podemos fazer como sempre fazemos
Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui
Assim vamos ter
Passo 4
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
Repara que temos uma raiz de multiplicidade , então as soluções são
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 5
Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO
Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Normalmente faríamos
Mas repara que temos na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando esse cara por
Mas ainda vamos ter na homogênea, então temos que fazer
Droga, aquele maluco ainda está na homogênea, então a particular vai ser
Assim vamos ter
Substituindo na EDO vamos ter
Isso nos diz que
Assim vamos ter
E a nossa solução particular vai ser
Passo 6
A nossa solução geral vai ser