Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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Considere a EDO
(a) (1pt) Sabendo que , ache a solução geral do sistema homogêneo associado;
(b) (1,5 pt) Ache a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Opa, Vamos lá resolver essa EDO de ordem superior.
Bom, assim coo na EDO de 2ª ordem, a gente começa resolvendo a EDO homogênea e depois encontra a solução particular;
Para isso, vamos achar quem? A nossa querida equação característica.
Ora, podemos colocar o em evidência, né
E aí começou a fazer sentido a dica que o exercício deu. Então vamos ficar com:
Agora, podemos encontrar as raízes. Como é um polinômio de grau 5, sabemos que serão 5 raízes. Vamos descobrir quais são as raízes do polinômio de segundo grau:
Bom, agora que já sabemos as raízes do polinômio de segundo grau, podemos enumerar todas as raízes, né
Beleza, agora que já sabemos as raízes, podemos escrever as soluções.
Então,
Passo 2
Agora que já achamos a solução do sistema homogêneo, temos que encontrar a solução geral.
Só que nós temos dois termos na solução particular, né? Temos, e .
Então podemos pensar em duas soluções particulares e depois a gente soma.
Bom, vamos começar com o .
Uma solução a se pensar é , só que dá uma olhada na nossa solução do sistema homogêneo. Essa solução já apareceu lá. Aí o que a gente faz nesses casos??? A gente multiplica por , lembra? Até a solução ficar diferente. Então vamos ter a nossa soluçaõ particular:
Agora, vamos calcular as derivadas para podermos substituir na nossa EDO.
Beleza, agora que já temos todas as derivadas, podemos substituir na equação:
Logo,
Uhuuul! Descobrimos uma solução particular. Agora vamos descobrir a próxima.
É mais comum a gente encontrar uma função como um polinômio, né
Só que o problema trouxe apenas uma constante. E agora???
Bom, podemos continuar tratanto como um polinômio, só que nesse caso só estamos interessados no último termo, que é o termo constante, certo? Podemos testar um polinômio de ordem 2 da forma já que termos de ordem menor vão sumir com as derivadas e os termos de ordem maior serão zerados quando igualar com o resultado.
Na expressão, ficará:
Logo, a solução geral será:
Onde:
E
Resposta
Onde:
E