Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado
Com
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
Normalmente faríamos aquele método de achar as possíveis raízes e tudo mais, mas essa equação é especial, ela é a que chamamos de biquadrada, isso porque ela tem a cara de uma equação de segundo grau só que ela é de quarto grau, para resolver essa equação vamos fazer
E a nossa equação vai ficar
E podemos resolver como sempre fazemos
Assim vamos ter
E vamos ter
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
Repara que temos um par de raízes complexas com multiplicidade , então vamos ter
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 4
Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO
Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Vamos fazer
Assim vamos ter
Substituindo na Edo vamos ter
Assim vamos ter
E nossa solução particular vai ser
Perceba que não temos nenhum termo linear na solução homogênea.
Passo 5
A nossa solução geral vai ser
Passo 6
Agora temos que achar os valores das constantes, usando os valores iniciais que ele deu no enunciado.
Vamos começar com
Vamos ter
Vamos para o segundo valor inicial
Primeiro temos que achar a primeira derivada
Assim vamos ter
Vamos para o terceiro valor inicial
Vamos achar primeiro a segunda derivada
Assim vamos ter
Substituindo o valor de
Vamos ao último valor inicial
Vamos achar a terceira derivada
Assim vamos ter
Passo 7
Juntando tudo que achamos temos
Pela segunda equação vamos ter
Substituindo na quarta equação
E
A nossa solução vai ficar