Dada a seguinte e.d.o. linear não homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular da equação diferencial pelo método de Coeficientes Indeterminados.

Agora precisamos obter a solução particular da nossa EDO utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Para isto, precisamos determinar o “formato” da nossa solução particular.

Relembrando a nossa EDO, temos:

Percebam que o segundo membro consiste de um polinômio somado com uma função trigonométrica . Por causa disto, devemos envolver na nossa solução particular ambos os casos.

Para o polinômio, a nossa solução particular é:

Em que é o grau do polinômio (neste caso, grau 1) e é o menor número inteiro que garanta que a parcela não será solução da equação homogênea. Como na equação homogênea encontramos , então, para este caso. Portanto, temos:

Já para as funções trigonométricas, devemos fazer algo semelhante. Só que para este caso, levamos em conta tanto a função seno quanto cosseno. Com isto, obtemos:

Percebam que colocamos e de acordo com o valor de que aparece na nossa EDO. Continuando, para este caso, temos , visto que não aparece nenhuma solução trigonométrica na nossa EDO homogênea. Sendo assim, temos:

E portanto, a nossa solução particular possuirá o seguinte formato:

Agora que descobrimos o formato da nossa solução particular, temos que descobrir quais os valores de cada um dos coeficientes.

Para isto, vamos fazer um procedimento semelhante ao da EDO homogênea. Vamos derivar a nossa solução particular 4 vezes, substituir na EDO e descobrir os valores dos coeficientes que a satisfazem. Sendo assim, temos:

Substituindo estas derivadas na nossa EDO, temos:

Comparando os coeficientes das funções do primeiro membro com as do segundo, temos o seguinte sistema:

Resolvendo-o, temos:

E a nossa solução particular será:

E assim finalizamos a questão!