Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Dada a seguinte e.d.o. linear não homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular da equação diferencial pelo método de Coeficientes Indeterminados.

y 4 + y ' ' ' = 2 x + sen ⁡ 2 x .

Passo 1

Vamos a nossa questão! Temos uma EDO linear não homogênea de quarta ordem!

Inicialmente, a questão nos pede para encontrarmos a solução da EDO homogênea associada. Somente depois temos que encontrar a solução particular. Sendo assim, vamos começar determinando a solução complementar, da EDO homogênea associada.

Para isto, vamos igualar a nossa EDO a 0. Logo,

y 4 + y ' ' ' = 0

Agora, devemos fazer um procedimento semelhante ao que fazemos para EDO’s homogênea de segunda ordem. Um bom candidato a solução é y x = e r x . Vamos descobrir as derivadas desse y x para substituir na nossa EDO e encontrar a equação característica. Portanto,

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

y ' ' ' = r 3 e r x

y 4 = r 4 e r x

Então, substituindo na nossa EDO, temos:

r 4 e r x + r 3 e r x = 0

e r x r 3 r + 1 = 0

Como e r x ≠ 0 para qualquer número real x , então, a nossa equação característica será:

r 3 r + 1 = 0

Cujas soluções são r = - 1 e r = 0 (multiplicidade 3).

Agora é só repetirmos o que fazemos para uma EDO de segunda ordem. Para r = - 1 , temos a solução c 1 e - x . Já para r = 0 , como se repete 3 vezes, devemos ter c 2 + c 3 x + c 4 x 2 e 0 x (como temos multiplicidade 3, temos 3 termos).

Concluindo a primeira parte da questão, a solução complementar da EDO será:

y c x = c 1 e - x + c 2 + c 3 x + c 4 x 2

Passo 2

Agora precisamos obter a solução particular da nossa EDO utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Para isto, precisamos determinar o “formato” da nossa solução particular.

Relembrando a nossa EDO, temos:

y 4 + y ' ' ' = 2 x + sen ⁡ 2 x

Percebam que o segundo membro consiste de um polinômio 2 x somado com uma função trigonométrica sen ⁡ 2 x . Por causa disto, devemos envolver na nossa solução particular ambos os casos.

Para o polinômio, a nossa solução particular é:

y p 1 x = x s A n x n + … + A 0

Em que n é o grau do polinômio (neste caso, grau 1) e s é o menor número inteiro que garanta que a parcela não será solução da equação homogênea. Como na equação homogênea encontramos x 2 , então, s = 3 para este caso. Portanto, temos:

y p 1 x = x 3 A 1 x + A 0

Já para as funções trigonométricas, devemos fazer algo semelhante. Só que para este caso, levamos em conta tanto a função seno quanto cosseno. Com isto, obtemos:

y p 2 x = x s B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x

Percebam que colocamos sen ⁡ 2 x e cos ⁡ 2 x de acordo com o valor de α x que aparece na nossa EDO. Continuando, para este caso, temos s = 0 , visto que não aparece nenhuma solução trigonométrica na nossa EDO homogênea. Sendo assim, temos:

y p 2 x = x 0 B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x = B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x

E portanto, a nossa solução particular possuirá o seguinte formato:

y p x = B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + A 1 x 4 + A 0 x 3

Passo 3

Agora que descobrimos o formato da nossa solução particular, temos que descobrir quais os valores de cada um dos coeficientes.

Para isto, vamos fazer um procedimento semelhante ao da EDO homogênea. Vamos derivar a nossa solução particular 4 vezes, substituir na EDO e descobrir os valores dos coeficientes que a satisfazem. Sendo assim, temos:

y p x = B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + A 1 x 4 + A 0 x 3

y p ' x = 2 B cos ⁡ 2 x - 2 C sen ⁡ 2 x + 4 A 1 x 3 + 3 A 0 x 2

y p ' ' x = - 4 B sen ⁡ 2 x - 4 C cos ⁡ 2 x + 12 A 1 x 2 + 6 A 0 x

y p ' ' ' x = - 8 B cos ⁡ 2 x + 8 C sen ⁡ 2 x + 24 A 1 x + 6 A 0

y p 4 x = 16 B sen ⁡ 2 x + 16 C cos ⁡ 2 x + 24 A 1

Substituindo estas derivadas na nossa EDO, temos:

y 4 + y ' ' ' = 2 x + sen ⁡ 2 x

16 B sen ⁡ 2 x + 16 C cos ⁡ 2 x + 24 A 1 - 8 B cos ⁡ 2 x + 8 C sen ⁡ 2 x + 24 A 1 x + 6 A 0 = 2 x + sen ⁡ 2 x

16 B + 8 C sen ⁡ 2 x + - 8 B + 16 C cos ⁡ 2 x + 24 A 1 x + 24 A 1 + 6 A 0 = 2 x + sen ⁡ 2 x

Comparando os coeficientes das funções do primeiro membro com as do segundo, temos o seguinte sistema:

16 B + 8 C = 1 - 8 B + 16 C = 0 24 A 1 = 2 24 A 1 + 6 A 0 = 0

Resolvendo-o, temos:

C = 1 40 B = 2 C = 1 20 A 1 = 1 12 A 0 = - 4 A 1 = - 1 3

E a nossa solução particular será:

y p x = 1 20 sen ⁡ 2 x + 1 40 cos ⁡ 2 x + 1 12 x 4 - 1 3 A 0 x 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A solução complementar é:

y c x = c 1 e - x + c 2 + c 3 x + c 4 x 2

A solução particular é:

y p x = 1 20 sen ⁡ 2 x + 1 40 cos ⁡ 2 x + 1 12 x 4 - 1 3 A 0 x 3

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