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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Passo 1

Lá vamos nós resolver mais uma EDO não homogênea. Primeiro, vamos resolver ignorando a parte não homogênea.

16 y i v - y = 0

A equação característica será

16 r 4 - 1 = 0

Que é uma equação biquadrada, que pode ser resolvida substituindo x = r 2

16 x 2 - 1 = 0

x = ± 1 4

Então

r = ± 1 2   e   r = ± 1 2 i

Então nossa solução homogênea será

y h x = C 1 e x 2 + C 2 e - x 2 + C 3 cos ⁡ x 2 + C 4 sen ⁡ x 2

Passo 2

Agora precisamos encontrar a solução particular, neste caso e x 2 já aparece na solução homogênea, então vamos chutar

y p = a x e x 2

E derivar nosso “chute” para aplicar na EDO

y p ' = a e x 2 + a x 2 e x 2

y p ' ' = a 2 e x 2 + e x 2 2 + a x 4 e x 2 = a e x 2 + a x 4 e x 2

y p ' ' ' = a 2 e x 2 + a e x 2 4 + a x 8 e x 2 = 3 a 4 e x 2 + a x 8 e x 2

y p i v = 3 a 8 e x 2 + a e x 2 8 + a x 16 e x 2 = a 2 e x 2 + a x 16 e x 2

Aplicando na equação

8 a e x 2 + a x e x 2 - a x e x 2 = e x 2

8 a = 1

a = 1 8

Logo, a solução particular é

y p x = 1 8 x e x 2

Passo 3

Sabemos que

y x = y h x + y p x

Logo,

y x = C 1 e x 2 + C 2 e - x 2 + C 3 cos ⁡ x 2 + C 4 sen ⁡ x 2 + 1 8 x e x 2

Resposta

y x = C 1 e x 2 + C 2 e - x 2 + C 3 cos ⁡ x 2 + C 4 sen ⁡ x 2 + 1 8 x e x 2

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