Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 12
A solução do problema de valor inicial ,
É:
Passo 1
Oi galera, tudo beleza? Vamos lá?
Vamos começar olhando com carinho para essa equação diferencial:
Ela é de segunda ordem (maior derivada que temos é a segunda) e os coeficientes (os números que vão na frente das derivadas e de são constantes, então podemos usar o método dos coeficientes indeterminados.
A ideia aqui é seguir basicamente esses três passos:
- Fingir que essa equação é homogênea e colocar do lado direito da equação. Achar (por meio das raízes da equação característica) as soluções ;
- Depois supor solução para a equação particular associada;
- Por fim, com as duas soluções na mão, achar os coeficientes através das condições iniciais.
Beleza? Mas calma que vou te ajudar em cada passo!
Passo 2
Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.
A EDO
Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:
As derivadas primeira e segundas:
E agora precisamos substituir na EDO:
Podemos dividir tudo por e ficamos com a famosa equação característica:
As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.
Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.
Passo 3
E a equação característica
Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:
Então a solução da homogênea é:
Passo 4
Agora a particular!
A equação diferencial particular associada é:
Como na nossa homogênea não tem nada com , podemos chutar uma solução particular do tipo polinômio de primeiro grau:
E precisa ser o polinômio completo? SIIIMMMMM
Bem parecida com a função da não-homogênea associada!
Agora vamos pegar essa solução e derivar duas vezes:
E substituir na equação diferencial não homogênea, pois assim podemos descobrir qual é a solução particular que queremos:
E para determinar os coeficientes e vou igualar os polinômios dos dois lados:
Igualando os termos lineares (com ) e os termos independentes dos dois lados temos o seguinte sistema:
Da primeira equação temos:
E da segunda:
Aí nossa solução particular fica:
Passo 5
Beleza?
Temos então as duas soluções: homogênea e particular. A solução é a soma dessas duas:
E agora? Bom, precisamos ainda determinar os coeficientes e ! E isso a gente faz através das condições de contorno!
Elas foram dadas:
Então vamos substituir cada uma (uma na solução e outra na derivada da função) e achar um sistema de equações com duas variáveis e duas equações.
Usando a primeira condição inicial :
Então daqui temos que:
E agora vou derivar a solução para poder usar a segunda condição inicial:
E agora aplicar :
Daqui temos
Juntando essas duas equações temos:
Vou multiplicar a equação (1) por 2:
E agora fazer a soma das duas:
E agora precisamos escolher qualquer uma das equações para achar . Vou escolher a (1) mesmo:
Pronto! Determinamos as duas constantes, aí nossa solução completa fica assim
Com e :
E a alternativa que tem essa solução como resposta é a letra (a).
Tranquilo?
Espero ter ajudado!