Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

Ver Teoria
Exercício 2012345678910111213141516171819212223242526272829

Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 7

Sejam y 1 e y 2 soluções das equações

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )  

Então a diferença y 1 - y 1 é solução da equação y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece ser bem complicada, mas vou ajudar você!

O problema deu uma equação diferencial não homogênea

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

E nos disse que y 1 e y 2 são soluções. Certo?

Se são soluções, então isso PRECISA acontecer:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = g ( t )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g ( t )

Beleza?

E nos pergunta se a diferença dessas soluções é solução da equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Notem que temos agora um = 0 no lado direito! Isso significa que queremos saber se a diferença dessas soluções é solução da equação diferencial homogênea associada!

Seja qualquer equação diferencial e se o problema nos diz que uma função é solução, você precisa lembrar que se substituirmos essa solução na equação, vai dar certo!

Nesse caso o dar certo é achar um 0 = 0 !

Beleza?

Então, aqui o problema nos diz que y 1 e y 2 são soluções, então elas individualmente satisfazem a equação diferencial. Então para saber se a diferença delas também satisfaz, precisamos substituir essa diferença na equação e ver o que dá!

Passo 2

E a equação diferencial:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0  

Agora vamos jogar y = y 1 - y 2 na equação:

y 1 - y 2 ' ' + p t y 1 - y 2 ' + q t y 1 - y 2 = 0

Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:

y 1 - y 2 ' = y 1 ' - y 2 '

E isso serve pra derivada segunda também!

y 1 - y 2 ' ' = y 1 ' ' - y 2 ' '

Certo?

Agora vou substituir isso ali na equação:

y 1 ' ' - y 2 ' ' + p t y 1 ' - y 2 ' + q t y 1 - y 2 = 0

Passo 3

Agora vamos reorganizar esses termos pra que y 1 (e suas derivadas) fiquei pertinho, e fazer o mesmo com a y 2 :

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 - y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0

Mas, pera aí! Volta lá no passo 1 comigo. A gente tinha que as soluções individuais eram soluções da equação diferencial não homogênea:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = g ( t )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g ( t )

Sendo assim, podemos substituir y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 por g ( t ) e y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 também por g ( t ) :

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 - y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0

g ( t ) - g ( t ) = 0

0 = 0

Opa! Encontramos uma igualdade matemática! Isso significa que, uma vez que as funções y 1 e y 2 sejam soluções da equação diferencial não homogênea, a diferença delas y 1 - y 2 vai ser solução da equação diferencial HOMOGÊNEA associada!

Então a afirmativa está correta! Marcamos verdadeiro.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

V e r d a d e i r o

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método dos aniquiladores para encontras a forma de uma solução particular Y t para cada uma das equações nos problemas de 13 a 18. Não calcule os coeficientes.
O Método dos Aniquiladores. Nos problemas de 20 a 22, consideramos outra maneira de chegar a uma forma adequada para Y ( t ) para usar no método dos coeficientes indeterminados. O procedimento baseia-
19. Considere a equação diferencial linear não homogênea de ordem n a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y = g t ( i ) em que a 0 ,...,a n são constantes. Verifique que, se g ( t ) tiver a forma e α t b 0
Em cada um dos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y ( t ) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.17. y ( 4 ) -y ' ' ' - y ' ' + y ' =
Em cada um dos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y ( t ) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.18. y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + 2 y ' ' =