Encontre todas as soluções da EDO:

Para encontrar a solução homogênea, pegamos a EDO equivalente igualada a zero:

E tiramos a equação característica correspondente:

E temos aqui uma equação de º grau. Como resolver isso? Vamos começar chutando uma raiz, como , por exemplo:

Então temos que é uma raiz dessa equação. Sabendo disso, vamos dividir o polinômio por . Usando Briot-Ruffini, colocamos os coeficientes da equação característica na parte superior:

Colocamos a raiz de no quadrante superior esquerdo:

Repetimos o primeiro coeficiente embaixo:

Agora, multiplicamos pela raiz e somamos com no terceiro quadrante superior da esquerda para direita:

Colocamos o resultado abaixo do terceiro quadrante:

E repetimos o processo como se não houvesse amanhã:

Os três primeiros coeficientes nos quadrantes inferiores são os coeficientes da nova equação de segundo grau e o último é o resto, que é zero já que é raiz. Assim, temos a nova equação:

É um quadrado perfeito. Podemos reescrevê-la como:

Ou seja, temos mais duas raízes . Ou seja, nosso problema tem três raízes reais idênticas. Para escrever a solução homogênea, pegamos a primeira exponencial:

A segunda exponencial, multiplicamos por :

E a terceira por :

A solução homogênea será a combinação disso tudo:

Ok, a solução homogênea já foi, vamos para a solução particular então. Temos duas funções distintas, um polinômio de primeiro grau e uma exponencial . Então, vamos dividir nossa solução particular em duas partes, uma associada a que chamaremos de e outra associada à exponencial que chamaremos de .

Beleza, então vamos ter:

Vamos começar analisando Como a função associada é um polinômio de grau, esperamos na forma:

Precisamos substituir na EDO relacionada para encontrar as constantes. Para isso, vamos derivar:

Assim, substituímos na EDO sem a exponencial associada à segunda parte (porque estamos analisando a primeira parte):

Juntamos termos de mesmo grau para poder comparar:

E chegamos no sistema:

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

Assim, nossa primeira parte da solução particular será:

A primeira parte da solução homogênea já foi, vamos olhar a segunda parte associada à exponencial agora. Naturalmente esperaríamos solução na forma:

Porém, já temos solução nesta forma aparecendo na parte não homogênea, logo consideramos:

Que é o menor grau que não aparece. Para poder substituir na EDO correspondente, vamos derivar pela regra do produto (vai ficar grande):

Calculado tudo, vamos substituir na EDO sem a parte relacionada a :

Juntamos termos de mesmo grau:

Repara que todos os coeficientes, exceto o de grau zero, vão se anular, isso é esperado mesmo. Assim, temos:

Comparando, encontramos C:

Portanto, a segunda parte da solução particular será:

Ou seja, nossa solução particular será:

Show, agora encontramos tudo que queríamos e podemos substituir na solução geral: