Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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Passo 1
Temos nesse problema uma EDO com coeficientes constantes não homogênea e para resolvermos temos que encontrar a solução da EDO homogênea associada, e vamos calcular uma solução particular pelo método da variação de parâmetros,
Passo 2
Vamos resolver a EDO homogênea associada primeiro.
Começamos achando a equação característica
Daqui temos que
Da primeira temos que :
Da segunda temos
Todas essas raízes apareceram apenas uma vez, então temos todas de multiplicidade .
Para , que é uma raiz real, a solução vai ser
Para , que é uma raiz complexa com e , a solução vai ser
Com isso a gente já tem a solução geral da homogênea:
Passo 3
Agora vem a parte mais trabalhosa que é calcular a solução particular. Para isso vamos precisar das derivadas das funções que formaram a nossa solução homogênea.
Com isso nós vamos construir a matriz
E, partindo dessa matriz podemos montar as matrizes
A nossa solução particular será dada por
Onde as funções serão dadas por.
Onde é a parte não homogênea da nossa EDO.
Passo 4
Vamos ao cálculo dos determinantes.
Passo 5
Com os determinantes calculados já podemos partir para o cálculo das funções.
Essa integral não tem função primitiva, então vamos deixar a função nessa forma mesmo, fazendo uma pequena alteração que não muda nada na função.
Passo 6
Calculando
Passo 7
Calculando
Passo 8
Logo a nossa solução particular será
Agora, juntando com a solução homogênea teremos
Agora teremos que calcular e para utilizarmos as condições iniciais e calcularmos as constantes.
As contas ficaram muito feias, mas é isso ai. Vamos jogar os valores agora
Disso obtemos.
Logo a nossa solução será.