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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Considere a equação diferencial

y ' ' x + 10 y ' x + 25 y x = 30 x - 3

y 0 = 1

y ' 0 = 6

  1. Encontre a solução da equação diferencial
  2. Encontre lim x → ∞ ⁡ y x

Passo 1

a )

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( x ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 30 x - 3

→ f x = 30 x - 3

Passo 2

Encontrar solução homogênea:

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' x + c y x = 0 1 y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

Logo:

a = 1 b = 10 c = 25

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 10 2 - 4 1 ( 25 )

⇒ Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 10 r + 25 = 0

⇒ r 2 + 10 r + 25 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( 10 ) ± 0 2 ( 1 )

⇒ r = - 5

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo o valor de r :

y x = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x

Passo 6

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

Como f ( t ) é um polinômio de grau 1, então y p ( x ) também será um polinômio de mesmo grau:

y p x = a x + b

Passo 7

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea!

Passo 8

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = a x + b y p ' x = a y p ' ' x = 0

Passo 9

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 30 x - 3

→ 0 + 10 a + 25 a x + b = 30 x - 3

→ 25 a x + 25 b + 10 a = 30 x - 3

→ 25 a = 30 25 b + 10 a = - 3

Resolvendo o sistema, temos que

a = 6 5 b = - 3 5

Passo 10

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p x = a x + b

→ y p x = 6 5 x - 3 5

Passo 11

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

→ y x = c 1 e - 5 t + c 2 t e - 5 t + [ 6 5 x - 3 5 ]

→ y x = c 1 e - 5 t + c 2 t e - 5 t + 6 5 x - 3 5

Passo 12

Vamos ver agora o problema de valor inicial

y 0 = 1

y ' 0 = 6

y x = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x + 6 5 x - 3 5 → y 0 = c 1 e - 5.0 + c 2 . 0 e - 5.0 + 6 5 0 - 3 5

y 0 = c 1 - 3 5

c 1 - 3 5 = 1

c 1 = 8 5

Vamos ver a derivada agora

y x = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x + 6 5 x - 3 5 → y ' x = - 5 c 1 e - 5 x + c 2 e - 5 x - 5 x e - 5 x + 6 5

y ' 0 = - 5 c 1 e - 5.0 + c 2 e - 5.0 - 5.0 e - 5.0 + 6 5 = - 5 c 1 + c 2 1 + 6 5

- 5 c 1 + c 2 + 6 5 = 6

- 5 c 1 + c 2 = 24 5

Substituindo o valor de c 1 que achamos ali em cima

- 5 8 5 + c 2 = 24 5

- 40 5 + c 2 = 24 5

c 2 = 64 5

A solução vai ser

y x = 8 5 e - 5 x + 64 5 x e - 5 x + 6 5 x - 3 5

Passo 13

b )

Temos que fazer o limite que ele pediu

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞ ⁡ 8 5 e - 5 x + 64 5 x e - 5 x + 6 5 x - 3 5 = lim x → ∞ ⁡ 8 5 e - 5 x + lim x → ∞ ⁡ 64 5 x e - 5 x + lim x → ∞ ⁡ 6 5 x + lim x → ∞ ⁡ - 3 5

Vamos fazer cada um desses limites

lim x → ∞ ⁡ 8 5 e - 5 x = 8 5 e - ∞ = 8 5 0 = 0

lim x → ∞ ⁡ 64 5 x e - 5 x = lim x → ∞ ⁡ 64 5 x e 5 x = ∞ ∞

Vamos usar regra de L’Hôspital aqui

lim x → ∞ ⁡ 64 5 x e 5 x = lim x → ∞ ⁡ 64 5 1 5 e 5 x = 64 5 0 = 0

lim x → ∞ ⁡ 6 5 x = ∞

lim x → ∞ ⁡ - 3 5 = - 3 5

Vamos ter

lim x → ∞ ⁡ y x = 0 + 0 + ∞ - 3 5 = ∞

Resposta

  1. y x = 8 5 e - 5 x + 64 5 x e - 5 x + 6 5 x - 3 5
  2. lim x → ∞ ⁡ y x = ∞

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