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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Dada a EDO

1 2 y 4 + y 3 + y 2 = e - x cos ⁡ x + 3 x

  1. Resolva a equação homogênea associada
  2. Usando o método de coeficientes indeterminados apresente e justifique a forma da solução particular. Não calcule os coeficientes.

Passo 1

a)

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea associada. A EDO homogênea associada vai ser

1 2 y 4 + y 3 + y 2 = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

1 2 r 4 + r 3 + r 2 = 0

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

1 2 r 4 + r 3 + r 2 = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência.

r 2 r 2 2 + r + 1 = 0

Assim vamos ter

r 2 = 0           o u         r 2 2 + r + 1 = 0

r 1 = 0

r 2 = 0

E

r 2 2 + r + 1 = 0

Ufa, chegamos numa equação de 2 º grau, agora podemos fazer como sempre fazemos

r 3 = - 1 + 1 2 - 4 . 1 2   . 1 2 . 1 2 = - 1 + 1 - 2 1 = - 1 + - 1 1 = - 1 + i 1 = - 1 + 1 i

r 4 = - 1 - 1 2 - 4 . 1 2   . 1 2 . 1 2 = - 1 - 1 - 2 1 = - 1 - - 1 1 = - 1 - i 1 = - 1 - 1 i

Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que a raiz 0 tem multiplicidade 2 e as outras duas raízes tem multiplicidade 1 , então as soluções são

y 1 = C 1 e 0 x = C 1

y 2 = C 2 x e 0 x = C 2 x

y 3 + y 4 = e - x C 3 cos ⁡ x + C 4 sen ⁡ x = C 3 e - x cos ⁡ x + C 4 e - x sen ⁡ x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

y h = C 1 + C 2 x + C 3 e - x cos ⁡ x + C 4 e - x sen ⁡ x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

1 2 y 4 + y 3 + y 2 = e - x cos ⁡ x + 3 x

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vezes um cosseno, vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Normalmente faríamos

y p = A x + B + C e - x cos ⁡ x + D e - x sen ⁡ x

Mas repara que temos e - x cos ⁡ x e e - x sen ⁡ x , além do polinômio de primeiro grau. na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando esse cara por x

y p = A x 2 + B x + C x e - x cos ⁡ x + D x e - x sen ⁡ x

Mas ainda vamos ter x na homogênea, então temos que fazer

y p = A x 3 + B x 2 + C x 2 e - x cos ⁡ x + D x 2 e - x sen ⁡ x

Agora é o momento AAAAAH!, mas repara que ele falou para não resolver essa parada. Ufa, se você for guerreiro que quiser resolver, vá em frente, vou te dar aqui os valores de cada um para você conferir com suas contas.

A = 1 2

B = - 3 2

C = 1 2

D = 0

Resposta

a)

y h = C 1 + C 2 x + C 3 e - x cos ⁡ x + C 4 e - x sen ⁡ x

b)

y p = A x 3 + B x 2 + C x 2 e - x cos ⁡ x + D x 2 e - x sen ⁡ x

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