Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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Calculo 4 – UFPE – 1° EE
Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a EDO
Passo 1
Vamos lá. Precisamos resolver uma EDO de segunda ordem (derivada máxima de ordem 2) e que não é homogênea (olha o ).
Como estamos trabalhando com uma EDO não homogênea, a sua solução pode ser escrita da seguinte forma:
Em que é a solução da EDO homogênea associada e é a solução particular do nosso problema. E é em relação a esta solução particular que devemos utilizar o método sugerido pela questão, o método de coeficientes indeterminados.
Mas, antes disto, vamos obter a solução da EDO homogênea associada.
Passo 2
A EDO homogênea associada ao problema é escrita da seguinte forma:
Portanto, a equação característica desta EDO é:
Calculando o , temos:
Como o valor de foi maior que 0, a solução da EDO possui a seguinte forma:
Nos resta então encontrar as raízes da equação característica. Continuando a sua resolução, vamos obter os valores e . Portanto, a solução homogênea da EDO é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a solução particular do nosso problema. E ela deve possui a seguinte cara: (percebam que multiplicamos por x pois foi uma solução da EDO homogênea).
Nosso papel agora é determinar quem é esse A que satisfaz a nossa EDO. Para isto, vamos ter que derivar e substituir na EDO. Logo,
Portanto,
Portanto, a solução particular da nossa EDO é:
E a solução da EDO é:
Resposta
A solução da EDO é dada por: