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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

  1. Determine o conjunto C dos valores de a ∈ R tais que a equação diferencial

    2. y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

    Possui uma solução particular da forma y p t = A sen ⁡ a t

  2. Encontre a solução geral da Equação diferencial do item anterior quando a ∉ C

Passo 1

a )

Vamos achar o valor de A para essa solução particular, devemos, primeiro, encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A sen ⁡ a t y p ' x = A a cos ⁡ a t y p ' ' x = - A a 2 sen ⁡ a t

Passo 2

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

→ - A a 2 sen ⁡ a t + 4 A sen ⁡ a t = sen ⁡ a t

→ - A a 2 sen ⁡ a t + 4 A sen ⁡ a t = sen ⁡ a t

- A a 2 + 4 A = 1

A 4 - a 2 = 1

A = 1 4 - a 2

A solução particular vai ser dessa forma enquanto existir o valor de A , então devemos ter

4 - a 2 ≠ 0

a ≠ ± 2

O conjunto C vai ser

C = a ∈ R a ≠ ± 2

Passo 3

Vamos agora resolver a EDO homogênea equivalente

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + 4 y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

Passo 4

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 0 y ' + 4 y = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 4

Passo 5

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 4 )

⇒ Δ = - 16

⇒ Δ < 0

Passo 6

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 0 r + 4 = 0

⇒ r 2 + 4 = 0

Cálculo das raízes:

r 2 = - 4

⇒ r = ± - 4

⇒ r = ± - 1 . 4

⇒ r = ± 2 i

Logo:

r = 0 ± 2 i

Comparando com

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 2

Passo 7

Encontrar a solução:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

⇒ y x = e 0 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x

⇒ y x = e 0 c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x

⇒ y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x

Passo 8

A solução particular que tínhamos ali em cima não serve mais, isso porque ela é o solução da parte homogênea, a nova solução particular vai ter a cara

y p x = B t sen ⁡ a t + D t cos ⁡ a t

Agora vamos encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = B t sen ⁡ a t + D t cos ⁡ a t y p ' x = B sen ⁡ a t + a B t cos ⁡ a t + D cos ⁡ a t - a D t sen ⁡ a t y p ' ' x = a B cos ⁡ a t + a B cos ⁡ a t - a 2 B t sen ⁡ a t - a D sen ⁡ a t - a D sen ⁡ a t + a D t cos ⁡ a t

Vamos dar uma arrumada na segunda derivada

y p ' ' x = a B cos ⁡ a t + a B cos ⁡ a t - a 2 B t sen ⁡ a t - a D sen ⁡ a t - a D sen ⁡ a t - a 2 D t cos ⁡ a t

y p ' ' x = 2 a B cos ⁡ a t - a 2 B t sen ⁡ a t - 2 a D sen ⁡ a t - a 2 D t cos ⁡ a t

Passo 9

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

→ 2 a B cos ⁡ a t - a 2 B t sen ⁡ a t - 2 a D sen ⁡ a t - a 2 D t cos ⁡ a t + 4 B t sen ⁡ a t + D t cos ⁡ a t = sen ⁡ a t

Lembra que os valores de a são ± 2 ? Isso nos diz que a 2 = 4

2 a B cos ⁡ a t - 4 B t sen ⁡ a t - 2 a D sen ⁡ a t - 4 D t cos ⁡ a t + 4 B t sen ⁡ a t + D t cos ⁡ a t = sen ⁡ a t

2 a B cos ⁡ a t - 2 a D sen ⁡ a t = sen ⁡ a t

Isso nos diz que

2 a B = 0

- 2 a D = 1

D = - 1 2 a

B = 0

A solução particular vai ser

y p x = - 1 2 a t cos ⁡ a t

Passo 10

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

→ y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x + [ - 1 2 a t cos ⁡ a t ]

→ y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x - 1 2 a t cos ⁡ a t

Resposta

  1. C = a ∈ R a ≠ ± 2
  2. y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x - 1 2 a t cos ⁡ a t ,     a = ± 2

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