Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
A primeira coisa que vamos fazer é colocar o em evidência, mas nesse caso não temos como fazer isso.
A ideia agora seria usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação, mas repara que essa equação pode ser resolvida de uma forma um pouco mais fácil.
Temos dois pares de subtrações, repara que o primeiro podemos por o em evidência e ter vezes a segunda subtração, vai ficar assim
Colocando em evidência
Assim vamos ter
E
Para os outros valores de vamos resolver
Assim vamos ter
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
Repara que todas as raízes tem multiplicidade , então as soluções vão ser
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 4
Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO
Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Normalmente faríamos
Mas repara que temos na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando esse cara por
Assim vamos ter
Substituindo na EDO vamos ter
Isso nos diz que
Assim vamos ter
E a nossa solução particular vai ser
Passo 5
A nossa solução geral vai ser