Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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Dê a solução geral da equação
E também a solução que satisfaz as condições iniciais
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que supor que a solução é da forma , de forma que
E a EDO homogênea fica
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
As soluções dessa equação são fáceis de encontrar:
Cujas soluções são
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 4
Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO
Como a nossa função ali do lado direito é uma exponencial vezes um polinômio de grau vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Só que esse nosso chute tem um termo que é uma constante vezes a exponencial () que aparece também na nossa solução homegênea!
Para lidar com isso a gente tem que multiplicar toda o nosso chute por . Assim
E agora, nenhum desses dois caras aparece na nossa solução homegênea. Então tamo safo! Simbora então
Passo 5
Agora falta derivar a nossa solução particular. Toma cuidado com essas derivadinhas por que elas são bem chatinhas, heim! Eu mesmo tive que fazer umas 2 vezes hehehe
Vamo que vamo na regra do produto!
- A primeira derivada fica
- A segunda derivada fica
- E a terceira derivada fica
Substituindo na EDO vamos ter
Arrumando tudo isso
Assim vamos ter
Então:
E a nossa solução particular é
Passo 6
A nossa solução geral vai ser
Passo 7
A primeira derivada dessa nossa solução é
E a segunda derivada é
Agora vamos ter que utilizar as condições de contorno para encontrar as constantes, então:
E a solução desse sistema é
E a nossa solução fica
Resposta
Solução geral sem usar PVI
Usando PVI