Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 6
Sejam e soluções das equações
respectivamente. Então é solução da equação
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece ser bem complicada, mas vou ajudar você!
O problema deu uma equação diferencial não homogênea
E nos disse que e são soluções. Certo?
Se são soluções, então isso PRECISA acontecer:
Beleza?
E nos pergunta se a diferença dessas soluções é solução da equação
Notem que temos agora um no lado direito! Isso significa que queremos saber se a diferença dessas soluções é solução da equação diferencial não homogênea associada!
Seja qualquer equação diferencial e se o problema nos diz que uma função é solução, você precisa lembrar que se substituirmos essa solução na equação, vai dar certo!
Nesse caso o dar certo é achar uma igualdade matemática.
Beleza?
Então, aqui o problema nos diz que e são soluções, então elas individualmente satisfazem a equação diferencial. Então para saber se a soma delas também satisfaz, precisamos substituir essa soma na equação e ver o que dá!
Passo 2
E a equação diferencial:
Agora vamos jogar na equação:
Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:
E isso serve pra derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso ali na equação:
Passo 3
Agora vamos reorganizar esses termos pra que (e suas derivadas) fiquei pertinho, e fazer o mesmo com a :
Mas, pera aí! Volta lá no passo 1 comigo. A gente tinha que as soluções individuais eram soluções da equação diferencial não homogênea:
Sendo assim, podemos substituir por e também por :
Opa! Encontramos uma igualdade matemática! Isso significa que, uma vez que as funções e sejam soluções da equação diferencial não homogênea, a diferença delas vai ser solução da equação diferencial não homogênea da soma das funções associada!
Então a afirmativa está correta! Marcamos verdadeiro.
Tranquilo?
Espero ter ajudado!