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Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.10

10] Considerando a função de três variáveis, ϕ = e y / x + e y / z + e z / x , verifique

x ∂ x ϕ + y ∂ y ϕ + z ∂ z ϕ = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função ϕ = e y / x + e y / z + e z / x e nosso objetivo é mostrar que

x ∂ x ϕ + y ∂ y ϕ + z ∂ z ϕ = 0

E aí, como fazemos isso? 😎

Na equação que devemos provar, temos que obter as derivadas parciais de ϕ com relação a x , y e z .

Para obter uma derivada parcial, temos que considerar as variáveis que não são a variável de integração como constantes, ou seja, na derivada parcial de x ∂ x ϕ , vamos considerar y e z constantes e derivar normalmente.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos começar derivando ϕ parcialmente com relação a x

∂ x ϕ = ∂ e y x + e y z + e z x ∂ x = ∂ e y x ∂ x + ∂ e y z ∂ x + ∂ e z x ∂ x

Pela regra da cadeia, temos que

∂ e y x ∂ x = ∂ y x ∂ x ∂ e u ∂ u

∂ e y x ∂ x = - y x 2 e u

Voltando u para y / x

∂ e y x ∂ x = - y x 2 e y x

Derivando o segundo termo, vamos que como não há x para ser derivado, é o mesmo que derivarmos uma constante, ou seja

∂ e y z ∂ x = 0

Já na derivada do terceiro termo, podemos ver uma simetria com o primeiro termo sendo que no lugar de y temos z ...

∂ e z x ∂ x = - z x 2 e z x

Substituindo em ∂ x ϕ

∂ x ϕ = - y x 2 e y x + 0 - z x 2 e z x

∂ x ϕ = - y e y x + z e z x x 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos derivar ϕ em relação a y

∂ y ϕ = ∂ e y x + e y z + e z x ∂ y = ∂ e y x ∂ y + ∂ e y z ∂ y + ∂ e z x ∂ y

Derivando o primeiro termo, temos que pela regra da cadeia, vamos obter

∂ e y x ∂ y = ∂ y x ∂ y ∂ e u ∂ u

∂ e y x ∂ y = 1 x e u

Voltando u para y / x

∂ e y x ∂ y = 1 x e y x

Na derivada do segundo termo, vemos que há uma simetria das variáveis, que como x e z se comportam como uma constante, podemos copiar o resultado anterior substituindo x por z

∂ e y z ∂ y = 1 z e y z

Já na derivada do terceiro termo, como não há y para ser derivado...

∂ e z x ∂ y = 0

Substituindo em ∂ y ϕ

∂ y ϕ = 1 x e y x + 1 z e y z + 0

∂ y ϕ = 1 x e y x + 1 z e y z

Bacana, não é? 👀

Passo 4

Por último, vamos derivar ϕ com relação a z

∂ z ϕ = ∂ e y x + e y z + e z x ∂ z = ∂ e y x ∂ z + ∂ e y z ∂ z + ∂ e z x ∂ z

No primeiro termo, não há z para ser derivado, portanto a sua derivada é 0

∂ e y x ∂ z = 0

No segundo termo, podemos aplicar a regra da cadeia ou comparar com a derivada de e y x com relação a x , nessa derivada se chamarmos x de z vamos ter o mesmo resultado, então podemos copiar o resultado substituindo x por z

∂ e y z ∂ z = - y z 2 e y z

O mesmo podemos fazer na derivada do terceiro termo... agora comparando com a derivada do termo e y x com relação a z temos que substituindo y por z na resolução, temos

∂ e z x ∂ y = 1 x e z x

Substituindo em ∂ z ϕ

∂ z ϕ = 0 - y z 2 e y z + 1 x e z x

∂ z ϕ = - y z 2 e y z + 1 x e z x

Está acompanhando? 😉

Passo 5

Substituindo os resultados das derivadas parciais de ϕ na equação

∂ x ϕ = - y e y x + z e z x x 2 ∂ y ϕ = 1 x e y x + 1 z e y z ∂ z ϕ = - y z 2 e y z + 1 x e z x

x ∂ x ϕ + y ∂ y ϕ + z ∂ z ϕ = 0

x - y e y x + z e z x x 2 + y 1 x e y x + 1 z e y z + z - y z 2 e y z + 1 x e z x = 0

Simplificando essa equação

- y e y x + z e z x x + y x e y x + y z e y z + - y z e y z + z x e z x = 0

- y x e y x - z x e z x + y x e y x + y z e y z + - y z e y z + z x e z x = 0

y x - y x e y x + y z - y z e y z + z x - z x   e z x = 0

0 e y x + 0 e y z + 0   e z x = 0

0 = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x ∂ x ϕ + y ∂ y ϕ + z ∂ z ϕ = 0

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