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Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 6c

6. Descreva o domínio e a imagem de f :

(c) f x , y = x + y - 1 x + y - 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma função f x , y = x + y - 1 x + y - 1 e nosso objetivo é determinar o domínio e a imagem de f ...

Lembra como fazemos isso? 😐

O domínio de uma função nada mais é que os possíveis valores que suas variáveis podem admitir.

Já a imagem de uma função são os possíveis valores que a função pode resultar...

Para determinar o domínio de uma função temos que analisar a própria função e verificar se existe alguma restrição nas suas variáveis.

E por último, para determinar sua imagem, temos que analisar a função e determinar os possíveis valores que a função pode resultar...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a função é dada por

f x , y = x + y - 1 x + y - 1

Para determinar o domínio de f , temos que observar que a função possui uma raiz, e sabemos que não existe raiz de número negativo em R .

Além disso, a função possui um quociente e por isso o conteúdo no denominador tem que ser diferente de 0 ...

Portanto para f existir, o conteúdo dentro da raiz tem que ser maior ou igual a 0 e o denominador diferente de 0 ...

D o m f x , y = f x , y ∈ R x + y ≥ 0 , x + y - 1 ≠ 0  

D o m f x , y = f x , y ∈ R x + y ≥ 0 , x + y ≠ 1  

Agora para definir a imagem de f temos que lembrar de algumas propriedades...

Perceba que x + y - 1 x + y - 1 nunca será maior que 1 e tambem nunca será menor que 0 , logo, a imagem de f será dada por

I m f x , y = 1 ≥ f x , y > 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R x + y ≥ 0 , x + y ≠ 1  

I m f x , y = 1 ≥ f x , y > 0

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