UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 2.2d
Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .
Passo 1
Oi galerinha, tudo bem?
Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.
Recebemos a função:
E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.
Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?
É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).
Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?
Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função para encontrar o domínio de .
Em seguida, vemos os possíveis valores que esse dom��nio pode nos dar em .
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Bom, analisando a nossa função:
Como trata-se de uma fração, a única restrição acontece quando o denominador é nulo.
Assim, devemos ter:
Daí, podemos escrever o nosso domínio como sendo:
Podemos esboçar essa região no como sendo:
onde todo o plano pertence ao domínio de , exceto pela reta azul .
Muito bom!
Passo 3
Já para a imagem, podemos usar a diferença de quadrados para simplificar um pouco a nossa expressão:
Substituindo esse produto notável na expressão da função, temos:
Portanto:
Essa expressão é muito boa, pois como e são variáveis que englobam praticamente todos os pontos do plano , temos que pode assumir qualquer valor real.
Assim, temos que:
Prontinho gente, é isso aí 😊