USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 7e
Para as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?
Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, , onde . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito tal que para qualquer valor de e .
Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor que limita nossa função, o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.
Vamos lá!
Passo 2
Pra determinar se a função é limitada, precisamos examinar o comportamento da função e como e variam. Primeiro, vamos examinar o denominador:
Pra que essa função do denominador seja definida, precisamos que o valor dentro da raíz seja maior ou igual a zero. Assim:
Agora vamos considerar o numerador . Como e variam, o valor de pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de e .
Além disso, a função é limitada entre e para qualquer valor de . Sendo assim, podemos concluir que a função é limitada, desde que .
Para , teríamos zero no denominador e nossa função estaria definida. Então, podemos afirmar que é limitada.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉