USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 7f
Para as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?
Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, , onde . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito tal que para qualquer valor de e .
Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor que limita nossa função, o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.
Vamos lá!
Passo 2
Pra determinar se a função é limitada, precisamos examinar o comportamento da função quando e se aproximam do infinito. Então vamos calcular:
Pra avaliar esse limite, vamos considerar que cada variável se aproxima do infinito independentemente. Assim, em cada caso, nós simplificamos a função dividindo numerador e denominador pela maior potência da variável considerada. Por exemplo, quando se aproxima de infinito, nós dividimos numerador e denominador por :
Dessa forma, é como se as outras variáveis fossem constantes e como , o valor de e é zero. E nós ficamos com:
Analogamente, quando e se aproximam do infinito, nós obtemos como resultado. Portanto, quando , teremos:
E assim, podemos dizer que nossa função é limitada, porque existe um valor () quando tendem a infinito.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉